专题3.4 平面向量及其应用（分层练）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】专题验收评价专题3.4平面向量及其应用内容概览A·常考题不丢分题型一平面向量数量积运算题型二平面向量线性运算题型三平面向量综合应用C·挑战真题争满分一、单选题1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量,ab满足2abb，且1,1b，则向量a在向量b上的投影向量为（）A．2,2B．2,2C．1,1D．1,1【答案】B【分析】由已知可求出4ab，再利用投影向量的计算公式，可得答案.【详解】由1,1b，则||2b，22abbabb，则4ab，则向量a在向量b上的投影向量为(2,2)||||abbbb.故选：B2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知向量,ab满足3,2,2213abab，则a与b的夹角为（）A．π2B．2π3C．3π4D．5π6题型一平面向量数量积运算【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B【分析】根据向量的模长可得3ab，进而由夹角公式即可求解.【详解】由2213ab得2244413aabb，将3,2ab代入可得24942413ab，所以3ab，所以31cos,232ababab，由于,0,πab，所以2π,3ab，故选：B3．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知向量,ab满足1,2ab，a与b的夹角为120，则2ab等于（）A．3B．13C．21D．21【答案】D【分析】根据数量积的定义求出ab，由222abab，结合向量数量积的运算律计算可得.【详解】1cos1201212abab，2222244141621ababaabb.故选：D.4．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）在平面四边形OACB中，π,3,3OAOBOAOBAACB，则OCOA的最大值为（）A．63B．93C．12D．15【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求出C的轨迹方程，根据向量数量积及C点坐标的范围得最值.【详解】如图，以O为原点，,OAOB分别为,xy轴建立平面直角坐标系，【淘宝店铺：向阳百分百】因为π3,3OAOBA，所以3,23OBAB，即(0,3),(3,0)BA，设(,)Cxy，由π3ACB可知，点(,)Cxy的轨迹为ABC外接圆的一段劣弧AB，且23242π3sin32ABR，即外接圆半径2R，设ABC外接圆的方程为22()()4xayb，代入点(0,3),(3,0)BA可得，22223434abab，解得23ab或10ab（舍去），即点(,)Cxy的轨迹方程为22(2)(3)4xy，所以222x，即04x，又33412OxCOA，当4x时，3y，此时点(4,3)C在劣弧上，满足题意，故OCOA的最大值为12.故选：C二、多选题5．（2023·河北唐山·统考二模）已知向量cos,cosa，sin,sinb，1,1c，下列命题成立的是（）A．若𝑎//𝑏，则πkkZB．若1ab，则π2π2kkZ【淘宝店铺：向阳百分百】C．若abab，则ππ2kkZD．设acm，bcn，当22mn取得最大值时，2πkkZ【答案】AD【分析】若//abrr，则cossinsincos0，结合两角差的正弦公式即可判断A；若1ab，则cossincossin1，再结合二倍角的正弦公式及正弦函数的值域即可判断B；若abab，则0abab，再结合二倍角的余弦公式即可判断C；求出,mn再结合两角差的余弦公式即可判断D.【详解】对于A，若//abrr，则cossinsincos0，即sin0，所以πk，即πkkZ，故A正确；对于B，若1ab，则cossincossin1，即11sin2sin2122，即sin2sin22，因为sin21,sin21，所以sin2sin21，所以1211ππ22π,22π,,Z22kkkk，所以1211222π2ππ2ππ,,,Zkkkkkk，所以ππ2kkZ，故B错误；对于C，cossin,cossin,cossin,cossinabab，由abab，得0abab，即cossincossincossincossin0，即cos2cos20，则cos2cos2，则22π2πk或2π22π,Zkk，所以ππ2k或ππ2kkZ，故C错误；对于D，coscosacm，sinsinbcn，则222222coscos2coscossinsin2sinsinmn22cos，当22mn取得最大值时，cos1，【淘宝店铺：向阳百分百】此时2πk，所以2πkkZ，故D正确.故选：AD.6．（2023·全国·模拟预测）已知点1,2A，3,1B，41RC,mm，则下列说法正确的是（）A．5ABB．若ABBC，则2mC．若ABBC∥，则12mD．若BA，BC的夹角为锐角，则2m且12m【答案】AC【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.【详解】因为1,2A，3,1B，41C,mmR，所以2,1AB，1BC,mmR，选项A：22215AB，所以A正确；选项B：因为ABBC，所以0ABBC，所以20m，所以2m，所以B错误；选项C：因为ABBC∥，所以211m，所以12m，所以C正确；选项D：因为BA，BC的夹角为锐角，且21BA,，所以20121BABCmm，解得2m，所以D错误.故选：AC7．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且2OP，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（）A．PAPC为定值B．OAOC的取值范围是[2,0]【淘宝店铺：向阳百分百】C．当ACBD时，ABCD为定值D．ACBD时，ACBD的最大值为12【答案】ACD【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则|||||||PAPCPAPCEPPF22||||(|||)||||2OEPOOEPOPOOE，故A正确．取AC的中点为M，连接OM，则22()()OAOCOMMAOMMCOMMC222(4)24OMOMOM，而220||2,OMOP故OAOC的取值范围是4,0,故B错误；当ACBD时，()()ABCDAPPBCPPDAPCPPBPD||||||||2||||4APCPPBPDEPPF，故C正确．当ACBD时，圆O半径2,r取AC中点为M，BD中点为N，则222222222(44)||||4()4()164OMONACBDrOMrON244(821)4，最后等号成立是因为222||||||2OMONOP，不等式等号成立当且仅当22||||1OMON，故D正确．【淘宝店铺：向阳百分百】故选:ACD.1．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）在ABC中，3CMMB，0ANCN，则（）A．1344MNACABB．2736MNABACC．1263MNACABD．1344MNACAB【答案】D【分析】根据题意画出图形并根据线段比例利用向量的加减法则计算即可求出结果.【详解】因为3CMMB，0ANCN，所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点，N为AC的中点，如下图所示：所以111224MNANAMACABBMACABBC11132444ACABACABACAB.故选：D2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知O，P，N在ABC所在平面内，满足OAOBOC，0PAPBPC，且NBNBNCANCNNA，则点O，P，N依次是ABC的（）A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心C．外心，重心，垂心D．外心，重心，内心【答案】C【分析】根据OAOBOC和外心性质可判断O为ABC的外心；对0PAPBPC变形，结合向量线性运算可判断点P为ABC中线的交点，即为重心；由NBNBNCANCNNA移项，结合数量积的性质可判断点N在ABC的高上，即为垂心.【详解】因为OAOBOC，所以点O到三个顶点的距离相等，所以O为ABC的外心；记BC的中点为D，因为0PAPBPC，题型二平面向量线性运算【淘宝店铺：向阳百分百】所以2PAPBPCPD，所以P，A，D三点共线，故点P在中线AD上，同理，点P也在ABC的另外两条中线上，即点P为ABC中线的交点，即为重心；如图，作BEAC，因为NANBNBNC，所以0NANBNBNCNBNANCNBCA，所以NBCA，所以点N在BE上，同理，点N在ABC的另外两条高上，即为高的交点，所以N为ABC的垂心.故选：C3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知,AB是圆22():21Mxy上不同的两个动点，||2,ABO为坐标原点，则||OAOB的取值范围是（）A．[22,42]B．[32,42]C．[42,42]D．[22,22]【答案】C【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解AB的中点N的轨迹方程，根据向量的运算可得||2||OAOBON，再结合点与圆的位置关系，即可求解.【详解】22(2)1,xy圆M的圆心坐标(2,0)M，半径1R，设圆心到直线l的距离为d，由圆的弦长公式，可得2||21ABd，即2212d，解得22d，设AB的中点为2,||2NMN，点N的轨迹表示以(2,0)M为圆心，以22为半径的圆，N的轨迹方程为22(2)12xy，因为|||2|2||OAOBONON，【淘宝店铺：向阳百分百】又||2OM，2222OMONOM，即222222ON,即||OAOB的取值范围为[42,42].故选：C4．（2023·广西·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且2AGGM，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，(0)ABxAPx，(0ACyAQy），则111xy的最小值为（）A．34B．1C．43D．4【答案】B【分析】由1122AMABAC可得33xyAGAPAQ，根据三点共线向量性质可得133xy，再结合均值不等式即可求出结果．【详解】由于M为线段BC的中点，则1122AMABAC又2AGGM，所以32AMAG，又(0)ABxAPx