专题5 空间向量与立体几何（原卷版）

专题5空间向量与立体几何01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法（四大命题方向+五道高考预测试题，高考必考22-27分）命题点1多面体表面积体积问题命题点2多面体内切外接问题命题点3空间几何体中角度问题命题点4空间几何体中动点问题04创新好题·分层训练（精选9道最新名校模拟试题+9道易错提升）空间几何体常用以及易错知识点空间角向量求法范围异面直线所成的角设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为v1，v2，则cosθ=|cosv1，v2|=(θ与v1，v2相等或互补)(，]直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则sinθ=|cosv，n|=(，或，) (，]两个平面所成的角设平面α，β所成的角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ=|cosn1，n2|=(θ与n1，n2相等或互补) (，](1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平面所成的角.两个平面平行时，它们所成的角为0.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1空间距离向量求法点到直线的距离设直线l的方向向量为v，点P为l外一点，点A为l上任一点，则点P到l的距离d=√⃗⃗⃗⃗⃗()点到平面的距离设n为平面α的法向量，点A为平面α内任一点，则平面α外任一点P到平面α的距离d=⃗⃗⃗⃗⃗两平行线间的距离在平行直线m，n上分别任取一点A，P，设直线m的方向向量为v，则两平行线m，n间的距离d=√⃗⃗⃗⃗⃗(⃗⃗⃗⃗⃗)(也可转化为点线距求解)两平行平面间的距离在平行平面α，β上各取一点A，B，设平面α的法向量为n，则两平行平面α，β之间的距离d=⃗⃗⃗⃗⃗⃗(也可转化为点面距求解)1.四点共面的充要条件空间中任一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗⃗，或对空间中任一点O，有⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗+x⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗⃗(或⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x-y)·⃗⃗⃗⃗⃗⃗+x⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗).2.定比分点坐标公式已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线AB上，⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R且λ≠-1)则称点M为有向线段⃗⃗⃗⃗⃗的定比分点，其坐标为(，，).空间几何体是高考中必考点，一般以2+1或者是3+1形式出现，主要考查多面体体积以及内切外接问题，必考题型为空间二面角问题真题多维细目表考点考向考题立体几何①多面体表面积体积问题②多面体内切外接问题③空间几何题角度问题④空间几何体动点问题2023新全国Ⅰ卷T12T14全国ⅡT9T14全国乙T8全国甲T112022全国甲卷T9新全国Ⅰ卷T4全国ⅡT112021全国Ⅰ卷T202023新高考Ⅰ卷T12全国乙卷T16全国甲卷T152022全国乙卷T9新高考Ⅰ卷T8全国ⅡT72021Q全国甲卷T72023新高考Ⅰ卷T18全国乙卷T19全国甲卷T182022全国乙卷T18新高考ⅡT20新高考Ⅰ卷T19甲卷T182021全国乙卷T5T18新高考Ⅰ卷T202023新高考ⅠT182021全国甲卷T19命题点1多面体表面积体积问题典例01．（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．5104典例02（2023·全国Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB，2PA，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．22ACD．PAC△的面积为3典例03．（2023·全国·Ⅰ卷）在正四棱台1111ABCDABCD中，1112,1,2ABABAA，则该棱台的体积为．典例04．（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，2AB，22BC，6PBPC，,,BPAPBC的中点分别为,,DEO，点F在AC上，BFAO．(1)求证：EF//平面ADO；(2)若120POF，求三棱锥PABC的体积．命题点2多面体内切外接问题典例01（2022·全国Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]典例02（2023·全国Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体典例03．（2023·全国乙卷）已知点,,,SABC均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC，则SA．典例04（2023·全国甲卷）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为AB，11CD的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点命题点3空间几何体中角度问题典例01（线面角问题）（2022·全国甲卷）在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A．2ABADB．AB与平面11ABCD所成的角为30C．1ACCBD．1BD与平面11BBCC所成的角为45典例02（线面角、线线角问题）（2022·全国Ⅰ卷）已知正方体1111ABCDABCD，则（）A．直线1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为90C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC与平面ABCD所成的角为45典例03（线面角解答题）3．（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AC底面ABC，190,2ACBAA，1A到平面11BCCB的距离为1．(1)证明：1ACAC；(2)已知1AA与1BB的距离为2，求1AB与平面11BCCB所成角的正弦值．典例04（二面角问题）（2023·全国·Ⅱ卷）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，60ADBADC，E为BC的中点．(1)证明：BCDA；(2)点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．命题点4空间几何体中动点问题典例01（2023·全国·统考Ⅰ卷）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，12,4ABAA．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC．(1)证明：2222BCAD∥；(2)点P在棱1BB上，当二面角222PACD为150时，求2BP．典例02．（2021·全国·甲卷）已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?预计2024年高考中立体几何也会是以小题加解答题形式出现，小题将是以空间几何体体内切外接球，线面角，以及体积为主，解答题则是以线面垂直以及二面角为主。1．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCDABCD，上下底面的中心分别为1O和O，若1124ABAB，160AAB，则正四棱台1111ABCDABCD的体积为（）A．2023B．2823C．2063D．28632．在梯形ABCD中，//,2,1ABCDABADCDCB，将ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥DABC，则三棱锥DABC体积最大时，其外接球的表面积为（）A．9π4B．5π2C．9π2D．5π二、多选题3．在正方体1111ABCDABCD中，点P满足(0)APPC，则（）A．对于任意的正实数，三棱锥11ABPC的体积始终不变B．对于任意的正实数，都有1//DP平面11ABCC．存在正实数，使得异面直线1DP与1BC所成的角为π3D．存在正实数，使得直线BP与平面1ABC所成的角为π64．如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，,//ADDCABDC，222PCABADCD，点E在棱PB上.(1)证明：平面EAC平面PBC；(2)当2BEEP时，求二面角PACE的余弦值.5．如图，在四棱锥PABCD中，//,4,2,10,60ABCDABBCCDBPDPBCD，ADPD．(1)求证：平面PBD平面ABCD；(2)若线段PC上存在点F，满足CFFP，且平面BDF与平面ADP的夹角的余弦值为130130，求实数的值．（★精选9道最新名校模拟考试题+9道能力高频考点提升题）一、单选题1．（2024上·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为6cm﹐下底面边长为3cm，高为5.4cm，则31L1000cm茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（）A．7碗B．8碗C．9碗D．10碗2．（2024上·四川达州·高三统考期末）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体1111ABCDABCD的所有顶点都在同一个球面上，且12AA，1ABBC，则1A，D两点间的球面距离为（）A．2π3B．π2C．π3D．π43．（2024·安徽·模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为棱11AB，1DD的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为s，最大值为S，则Ss（）A．62B．32C．305D．654．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥PABCD的高PH的中点作平行于底面ABCD的截面1111DCBA，若四棱锥PABCD与四棱台1111ABCDABCD的表面积之比为1211，则直线PA与底面ABCD所成角的余弦值为（）A．105B．155C．63D．33二、多选题5．（2024上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，8PA，AB⊥AC，4ABAC，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且4PQ，已知在弧度制下锐角，满足：4cos5，25cos5，则下列结论正确的是（）A．过点D作球的截面，截面的面积最小为4πB．过点D作球的截面，截面的面积最大为24πC．点Q的轨迹长为44D．点Q的轨迹长为486．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）若点P是棱长为2的正方体1111ABCDABCD表面上的动点，点M是棱11AD的中点，则（）A．当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥11PCDM的体积为定值B．当APDM时，线段AP长度的最大值为3C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为422D．直线DM被正方体1111ABCDABCD的外接球所截得的线段的长度为655三、填空题7．（2024上·山东德州·