【淘宝店铺:向阳百分百】微考点6-1圆锥曲线中的非对称韦达定理问题(三大题型)在一些定点、定值、定线问题中,还常出现需要证明类似211222yxyx为定值的情形,通过直线代换可得:21211211212122222266yxkxxkxxxyxkxxkxxx,但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式,这种式子一般称为“非对称韦达定理”.或者在处理斜率比值的时候:1212211212122211)()(xtmxkxxtmxkxtxyxtxyxxtyxtykkPBPA我们明明求了韦达定理却无法代入,这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到12xx和12xx之间的关系,将其中一个替换,常用手段是把乘法的替换成加法.这样的非对称形式,即韦达定理无法直接代入,可以通过韦达定理构造互化公式,先局部互化,然后可整理成对称型.具体办法:①联立方程后得到韦达定理:21212121)())(()()(xxtnxxtmtgxxtfxx代入之后进行代换消元解题.②利用点在椭圆方程上代换题型一:利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】【例1】已知双曲线2222:1(0)3xyCaaa的左顶点为A,右焦点为F,P是直线:2alx上一点,且P不在x轴上,以点P为圆心,线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N.(1)证明:2APNNPF;(2)取1a,若直线PF与C的左、右两支分别交于E,D两点,过E作l的垂线,垂足为R,试判断直线DR是否过定点若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)答案见解析【分析】(1)过N作l的垂线,垂足为H,且与圆弧AF交于点M,则MNAF∥,结合圆的知识可得AMNF,【淘宝店铺:向阳百分百】MHHN,设点00,Nxy,则22002213xyaa,由2NFHN,可得2NFHN,即得AMNFMN(用双曲线的第二定义来说明,也可以),由相等弦长所对的圆心角相等,得APMMPNNPF,进而求解;(2)设直线PF的方程为2xmy,由题意可得33,,33m,联立方程组,结合韦达定理可得12yy,12yy,由题知,直线DR的方程为21211122yyyyxx,令0y,化简即可求解.【详解】(1)证明:过N作l的垂线,垂足为H,且与圆弧AF交于点M,则MNAF∥,连接AM,PM,NF.因为在圆P中,PHAFPHMN,,所以||||||||AMNFMHHN,.由题易知右焦点(2,0)Fa,设点00,Nxy,则22002213xyaa,整理得2220033yxa.因为2222220000000000223322||2||2222xayxaxaxaxaNFaaaaHNxxxx,所以||2||NFHN,所以||||||AMNFMN.【这里若学生用双曲线的第二定义来说明,也可以.见下:因为直线:2alx为双曲线2222:1(0)3xyCaaa的准线,根据双曲线的第二定义,可知||2||NFcHNa,即||2||NFHN,即得||||||AMNFMN.】在圆P中,由相等弦长所对的圆心角相等,得APMMPNNPF,所以2APNNPE.(2)由题知双曲线22:13yCx,渐近线为:33yx,右焦点为2,0F,直线PF的斜率不为0,设直线PF的方程为2xmy【淘宝店铺:向阳百分百】因为直线PF与C的左,右两支分别交于E,D两点,则33,,33m.设11222121,,,2DxyExyRyyy,,,联立方程组22213xmyyx,得22311290mymy,则121222129,3131myyyymm.由题知,直线DR的方程为21211122yyyyxx,令0y,得12112112211221212121211113122222242xyymyyymyyyyyyyyxyyyyyyyy21215544yyyy,所以直线DR过定点5,04.【跟踪训练】1.已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点2,0A,3(1,)2B,M,N为椭圆E上关于x轴对称的两点(不与点B重合),1,0Q,直线MQ与椭圆E交于另一点C,直线QP垂直于直线NC,P为垂足.(1)求E的方程;(2)证明:(i)直线NC过定点,(ii)存在定点R,使PR为定值.【答案】(1)2214xy;(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析.【分析】(1)设方程为221mxny0,0,mnmn,代入,AB点的坐标,得出方程组,求解即得.(2)(i)设MQ的方程为10xtyt,与椭圆方程联立,根据韦达定理表示出坐标关系,得出NC的方程为121112(yyyyxxxx,令0y,整理可得4x,即可得出定点;(ii)由已知可得QPPH,即可得出P的轨迹,得出答案.【淘宝店铺:向阳百分百】【详解】(1)设E的方程为221mxny0,0,mnmn,则41314mmn,解得141mn,所以E的方程为2214xy.(2)(i)依题意,直线MQ的斜率存在且不为0,设MQ的方程为10xtyt,设点11,Cxy,22,Mxy,则22,Nxy,由22144xtyxy消去x并整理得224230tyty,则2Δ16480t,12224tyyt,12234yyt,显然121223()tyyyy,直线NC的斜率1212NCyykxx,直线NC的方程为121112(yyyyxxxx,令0y,则112212111212yxxyxxyxxyyyy21211211ytytyyyy12121224tyyyyyy,所以直线NC恒过定点4,0.(ii)令直线NC过的定点4,0为点H,由0QPNC,P在NC上,得QPPH,则点P在以QH为直径的圆上,从而QH的中点5(,0)2R为定点,使PR为定值32.【点睛】思路点睛:设MQ的方程为10xtyt,与椭圆联立得出方程,根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简,即可得出定点坐标.2.椭圆C:222210xyabab的一个焦点为1,0F,且过点31,2M.(1)求椭圆C的标准方程和离心率;(2)若过点2,03且斜率不为0的直线与椭圆C交于M,N两点,点P在直线6x上,且NP与x轴平行,求直线MP恒过的定点.【答案】(1)标准方程为C:22143xy,离心率为12;(2)10,03【淘宝店铺:向阳百分百】【分析】(1)法一:由题意可得2222211914cababc,解方程即可求出,,abc,可求出椭圆C的标准方程和离心率;法二:由椭圆的定义求出1a,再结合222bac求出b,可求出椭圆C的标准方程和离心率;(2)设方程为23xmy,11,Mxy,22,Nxy,联立直线MN方程和椭圆的方程可得121283myyyy,表示出直线MP方程,对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上,令0y,将121283myyyy代入化简即可得出答案.【详解】(1)法一:由题意2222211914cababc,可得222431abc,则椭圆C的标准方程为C:22143xy,离心率为12cea;法二:设椭圆的左焦点为1,0F,则由椭圆的定义知222233532111142222aMFMF,所以2a,又1c,得2223bac,则椭圆C的标准方程为C:22143xy,离心率为12cea;(2)因为直线MN过点2,03且斜率不为0,所以设直线MN方程为23xmy,11,Mxy,22,Nxy,则26,Py,联立2223143xmyxy,消去x得,223234403mymy,所以122122043432334myymyym,所以121283myyyy,直线MP方程为122166yyyyxx,由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上,【淘宝店铺:向阳百分百】所以令0y,得212166yxxyy,且1123xmy,所以2112212221212121681668333363ymymyyyyyyxyyyyyy,可得103x,直线MP恒过的定点10,03.【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点00,xy,常利用直线的点斜式方程或截距式ykxb来证明.题型二:利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】【例1】椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为4,且椭圆C过点33,2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知A、B为椭圆C的左、右顶点,过右焦点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N,直线AM与直线4x交于点P,记PA、PF、BN的斜率分别为1k、2k、3k,问132kkk是否是定值,如果是,求出该定值,如果不是,请说明理由.【答案】(1)22:143xyC;(2)132kkk是定值2,理由见解析【分析】(1)先求出2a,将33,2代入求出23b,得到椭圆方程;(2)设直线MN:1xmy,联立椭圆方程,设1122,,,MxyNxy,得到两根之和,两根之积,表达出1112ykx,12122ykx,2322yxk,计算出12212113212322kmyyymyykyk,将两根之积代入,化简得到【淘宝店铺:向阳百分百】21211321231434821834yyymkmmmkky,再代入两根之和,得到132kkk是定值2.【详解】(1)由题意得24a,解得2a,将33,2代入椭圆方程222:14xyCb中得,233144b,解得23b,故椭圆方程为22:143xyC(2)因为2a,431c,所以1,0F,2,0A,2,0B,设直线MN:1xmy,联立1xmy与22:143xyC可得,2234690mymy,223636340mm恒成立,设1122,,,MxyNxy,则12122269,3434myyyymm,直线AM:1122yxyx,令4x得1162yyx,故1164,2yPx,1112ykx,111216022412yxykx,2322yxk,则1221122112112113232222222111222yyymyxxykxxkxyymyky