微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（原卷版）

微考点6-2圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：dABS21（其中AB为弦长，d为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式mkxy.进一步，dABS21=20011221214)(121kmykxxxxxk②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.21212121()42PABPQAPQBABSSSPQyyPQyyyy21212121()42PABPQAPQBABSSSPQxxPQxxxx③坐标法：设),(),,(2211yxByxA，则||211221yxyxSAOB④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆2222:10xyEabab，1F，2F分别为左右焦点，点10,2P，262,3P在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点1F且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若AB的中点为M，O为原点，直线OM交直线3x于点N，求1ABNF取最大值时直线l的方程.【例2】已知圆1O：224924xy和圆2O：22124xy，以动点P为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，记动点P的轨迹为T．(1)求轨迹T的方程；(2)若斜率为1的直线交轨迹T于A，B两点，求AB的长度的最大值．【跟踪训练】1.已知椭圆C：222210xyabab，圆O：22320xyxy，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点1,0作两条相互垂直的直线1l，2l，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求ABDE的取值范围．2．已知椭圆C：222210xyabab的两焦点11,0F，21,0F，且椭圆C过33,2P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点1F作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为18，求AB的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】【例1】已知椭圆的方程为222210xyabab，称圆心在坐标原点O，半径为22ab的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为2，离心率为33．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于A、B两点，与其“蒙日圆”交于C、D两点，当4CD时，求AOB面积的最大值．【例2】已知椭圆222210xyabab的左、右焦点分别是1F，2F，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长，且12AFF△的面积为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)若B，C是椭圆上不同的两点，且直线AB和直线AC的斜率之积为14，求ABC面积的最大值．【例3】动点(,)Pxy满足方程2222(1)(1)4xyxy．(1)求动点P的轨迹的方程；(2)设过原点的直线l与轨迹相交于,AB两点，设11,,(0,1)AxyF，连接,AFBF并分别延长交轨迹于点,DE，记,ABFDEF△△的面积分别是12,SS，求12SS的取值范围．【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为1,0F，且长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，1F是椭圆的另一个焦点，若1ABF内切圆的半径23r，求直线l的方程．【跟踪训练】1．如图，已知椭圆C的焦点为11,0F，21,0F，离心率为22，椭圆C的上、下顶点分别为,AB，右顶点为D，直线l过点D且垂直于x轴，点Q在椭圆C上（且在第一象限），直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M.(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOM（O为坐标原点）与ADN△的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.2．已知椭圆C的方程为222210xyabab，其离心率为33，1F，2F为椭圆的左右焦点，过1F作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，2ABF△的周长为83．(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D．①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．②求AOD△面积的最大值．3．已知抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点为1,0F．椭圆C的中心为O，左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，且1ABAF．(1)求抛物线E和椭圆C的标准方程．(2)设直线l经过点F，与抛物线E交于P，Q两点，与椭圆C交于M，N两点．记OPQ△和OMN的面积分别为1S和2S，是否存在直线l，使得127:3:SS？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】【例1】如图所示，椭圆2222:1(0)xyEabab的上顶点和右顶点分别是0,1A和B，离心率32e，C，D是椭圆上的两个动点，且//CDAB.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【例2】已知1F，2F分别为椭圆Γ：22214xyb的左、右焦点，过点2F的直线1l与椭圆Γ交于A，B两点，且12AFF△的周长为423.(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若过点2F的直线2l与椭圆Γ交于C，D两点，且12ll，求四边形ACBD面积的取值范围.【跟踪训练】1．已知椭圆1C：2214xy，椭圆2C：221164xy，动点00,Pxy在2C上运动，过00,Pxy作1C的两条切线，切点分别为A，B.（提示：过椭圆C：222210xyabab上一点,Nmn与C相切的直线方程为221mxnyab）(1)求直线AB的方程（用0x，0y表示）；(2)O为坐标原点，求四边形OAPB的面积.2．已知焦距为2的椭圆M：22221(0)xyabab，1F，2F分别为其左右焦点，过点2F的直线1l与椭圆交于A，B两点，1ABF的周长为8．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点2F的直线2l与椭圆交于C，D两点且满足12ll，求四边形ACBD面积的最小值．1．设椭圆222210xyabab的左右顶点分别为12,AA，左右焦点12,FF．已知123AF，221AF．(1)求椭圆方程．(2)若斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，与以12,FF为直径的圆交于C，D两点．若1227ABCD，求直线l的方程．2．已知圆O：224xy，点M是圆O上任意一点，M在x轴上的射影为N，点P满足32NPNM，记点P的轨迹为E.(1)求曲线E的方程；(2)已知1,0F，过F的直线m与曲线E交于A，B两点，过F且与m垂直的直线n与圆O交于C，D两点，求ABCD的取值范围.3．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过2,1T，斜率为k的直线l与椭圆E交于A、B.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点10,3P，记AB的中点为M坐标为,nm且4ABPM，求直线l的方程，并写出M的坐标.4．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点分别为12,0,,0FcFc，离心率为12，点31,2在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点3,0D的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记1ABF的面积为S，求S的最大值.5．已知椭圆C：222210xyabab的离心率为32，椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积的最大值为3．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为1k，直线BQ的斜率为2k，已知123kk，设APQ△和BPQV的面积分别为1S，2S，求12SS的最大值．6．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，左、右焦点分别为12,FF，直线xm与椭圆C交于,AB两点，且1ABF的周长最大值为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P是椭圆C上一动点（不与端点重合），12,AA分别为椭圆C的左右顶点，直线2AP交y轴于点Q，若1APQ△与22AFP△的面积相等，求直线2AP的方程．7．在平面直角坐标系xOy中，A、B为圆O：224xy与x轴的交点，点P为该平面内异于A、B两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.条件①：直线AP与直线BP的斜率之积为14；条件②：设Q为圆O上的动点，D为点Q在x轴上的射影，且P为QD的中点；注：如果选择多个条件作答，按第一个计分.(1)求动点P的轨迹方程C；(2)若直线l与（1）问中轨迹方程C交于M、N两点，与圆O相交于E、F两点，且120EOF，求OMN面积最大值.8．设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，上、下顶点分别为1B，2B，短轴长为23，过1F且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点1F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若12MNBF，试求2FMN内切圆的面积．9．已知直线30xy与椭圆222:1xEya有且只有一个公共点.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线20xy对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于椭圆的左焦点，S是四边形ABCD的面积，求S的最小值.10．已知点,Pxy与定点1,0M的距离和它到定直线4x的距离的比是12．(1)求点P的轨迹E的标准方程；(2)设点1,0N，若点,AC是曲线E上两点，且在x轴上方，满足//AMNC，求四边形AMNC面积的最大值．11．已知椭圆221:184xyC与椭圆2C有相同的离心率，椭圆2C焦点在y轴上且经过点(1,2).(1)求椭圆2C的标准方程：(2)设A为椭圆1C的上顶点，经过原点的直线l交椭圆于2C干P，Q，直线AP､AQ与椭圆1C的另一个交点分别为点M和N，若AMN与APQ△的面积分别为1S和2S，求12SS取值范围.12．已知椭圆2222:10xyEabab的离心率为22，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A，B两点，与直线2x相交于点M.(1)求椭圆方程；(2)若2,1M，求证：MABFMBAF；(3)过点F作直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线2x相交于点N.求1111MAM