微考点6-3 圆锥曲线中的定点定值问题（三大题型）（原卷版）

微考点6-3圆锥曲线中的定点定值问题（三大题型）求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点00,xy，常利用直线的点斜式方程00yykxx.④设直线为mkxy，根据题目给出的条件，转化为坐标之间的关系，利用韦达定理找出k与m之间的关系，即可求出定点。题型一：圆锥曲线中直线过定点问题【精选例题】【例1】已知0,1P为椭圆C：222210xyabab上一点，点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB斜率的乘积为－1，证明：直线l必过定点，并求出这个定点坐标．【例2】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率22e，且椭圆C经过点21,2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点2,0P且斜率不为零的直线与椭圆C交于,BD两点，B关于x轴的对称点为A，求证：直线AD与x轴交于定点Q.【跟踪训练】1．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为23，按上述方法折纸.以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线4x于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP、AQ的斜率分别为APk、AQk.（i）求证：APAQkk为定值；（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.2．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点2,0A，3(1,)2B，M，N为椭圆E上关于x轴对称的两点（不与点B重合），1,0Q，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：（i）直线NC过定点，（ii）存在定点R，使PR为定值．题型二：圆锥曲线中圆过定点问题【精选例题】【例1】已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为22，其左､右焦点分别为1F，2F，T为椭圆C上任意一点，12TFF△面积的最大值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知0,1A，过点10,2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN与x轴的交点分别为P，Q，证明：以PQ为直径的圆过定点.【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C：222210xyabab过点2,1，离心率为22，其左右焦点分别为1F，2F．(1)若点P与1F，2F的距离之比为13，求直线230xy被点P所在的曲线2C截得的弦长；(2)设1A，2A分别为椭圆1C的左、右顶点，Q为1C上异于1A，2A的任意一点，直线1AQ，2AQ分别与椭圆1C的右准线交于点M，N，求证：以MN为直径的圆经过x轴上的定点．【跟踪训练】1.设椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，点A为椭圆上一点，12FAF的周长为6.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线:lykxm与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q.问：x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：222210xyabab的长轴长为4，且经过点(,2)be，其中e为椭圆C的离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(0,1)P的直线l交椭圆C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B，直线AB交x轴于点Q，过点Q作l的垂线l，垂足为H，求证：点H在定圆上.题型三：圆锥曲线中圆过定值问题【精选例题】【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且右焦点F到直线2:alxc的距离为63.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆C上的任一点00,Mxy，从原点O向圆2200:8Mxxyy引两条切线，设两条切线的斜率分别为1212,0kkkk，（i）求证：12kk为定值；（ii）当两条切线分别交椭圆于,PQ时，求证：22||OPOQ为定值.【例2】已知椭圆C：222210xyabab离心率22e，且经点21,2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线2x于点D，且21,2Q，设直线QA，QD，QB的斜率分别为1k，2k，3k，若20k，证明132kkk为定值．【例3】已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)A，离心率32e．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点A的斜率为k直线l交椭圆C于另一点B，若OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的斜率k的值；(3)设过点(4,0)D的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4x于点P，Q．求证：线段PQ的中点T为定点．【跟踪训练】1．如图，D为圆O：221xy上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA并延长至点W，使得1WA，点W的轨迹记为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若过点2,0K的两条直线1l，2l分别交曲线C于M，N两点，且12ll，求证：直线MN过定点；(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线0xx与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得π2ORPORQ？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆2222:10xyCabab的长轴长为4，离心率为12，定点4,0P．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AB与椭圆C分别交于点,AB（P不在直线AB上），若直线PA，PB与椭圆C分别交于点M，N，且直线AB过定点53,22Q，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.4．已知椭圆C：222210xyabab的左、右顶点分别为A，B，其离心率为63，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且PAB面积的最大值为33．(1)求C的方程；(2)若点O为坐标原点，直线AP交直线4x于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断BEBF是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．1．设椭圆E：222210xyabab的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点.若直线MC与MD的斜率之积为34.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点4,0P作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线BF与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.2．已知椭圆E：222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，左顶点为A，11AF，P是椭圆E上一点（异于顶点），O是坐标原点，Q在线段2PF上，且OQ∥1PF，2OQQP．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l与x轴交于点C、与椭圆E交于点M，N，B与N关于x轴对称，直线MB与x轴交于点D，证明：OCOD为定值．3．已知T为圆M：22216xy上任一点，2,0N，MQMT，[0,1]，且满足0QTQNTN.(1)求动点Q的轨迹的方程；(2)过点(0,1)P的直线与轨迹相交于A,B两点，是否存在与点P不同的定点R，使RAPARBPB恒成立？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.4．椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点分别为1F，2F，离心率为32，R为椭圆C上任意一点，R不在x轴上，12RFF△的面积的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,1)P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点(0,1)B，求证：直线BM，BN的斜率之和BMBNkk为定值，并求出定值.5．已知22:21Mxy，22:249Nxy，动圆P与圆M外切且与圆N内切．圆心P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)是否存在过点11,2Q的直线l交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线l的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．6．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴为双曲线22184xy的实轴，且椭圆C过点2,1P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点,AB是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为12,kk，若1212kk，试问直线AB是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.8．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，且过点33,2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知过右焦点F的直线l与C交于,AB两点，在x轴上是否存在一个定点P，使OPAOPB？若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.9．已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，上、下顶点分别为1A，2A，且四边形1122AFAF是面积为8的正方形．(1)求C的标准方程；(2)M，N为C上且在x轴上方的两点，12MF//NF，2MF与1NF的交点为P，试问12PFPF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左､右焦点分别为123,0,3,0FF，点P在椭圆E上，且满足2PFx轴，123tan12PFF.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设椭圆E的右顶点为A，左顶点为B，是否存在异于点A的定点,0(0)Qmm，使过定点,0Qm的任一条直线l均与椭圆E交于1122,,,MxyNxy（异于,AB两点）两点，且使得直线AN的斜率为直线BM的斜率的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.11．已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为22，其左、右焦点分别为1F，2F，点P是坐标平面内一点，且1273,24OPPFPF（O为坐标原点）．(1)求椭圆C的方程；(2)过点10,3S且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和MAB△面积的最大值；若不存在，说明理由．12．已知椭圆22221(0)xyCabab：经过点2,0A，且右焦点为3,0F．(1)求C的标准方程；(2)过点1,0且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，直线4x分别交直线AM，AN于点E，F，以EF为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．