微考点6-4 利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题(解析版)

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【淘宝店铺:向阳百分百】微考点6-4利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题【考点目录】考点一:椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二:中点弦问题(点差法)秒杀公式考点三:双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四:双曲线中,焦点三角形的内心I的轨迹方程为)0,(ybybax.考点五:椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六:圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七:双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一:椭圆焦点三角形的面积为2tan2Sb(为焦距对应的张角)证明:设12,PFmPFn122222221222cos2121cos1sin32FPFmnabcmnmnmnSmn,:V1222222sincossin22tan1cos22cos2FPFSbbbV.双曲线中焦点三角形的面积为2tan2bS(为焦距对应的张角)【精选例题】【例1】(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知12,FF为椭圆C:221164xy的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且12PQFF,则四边形12PFQF的面积为________.【答案】8【解析】因为,PQ为C上关于坐标原点对称的两点,且12||||PQFF,所以四边形12PFQF为矩形,【淘宝店铺:向阳百分百】设12||,||PFmPFn,则228,48mnmn,所以22264()2482mnmmnnmn,8mn,即四边形12PFQF面积等于8.故答案为:8.【例2】设1F,2F是双曲线22:13yCx的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且||2OP,则△12PFF的面积为()A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】由已知,不妨设12(2,0),(2,0)FF,则1,2ac,∵121||1||2OPFF,∴点P在以12FF为直径的圆上]即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形,故2221212||||||PFPFFF,即2212||||16PFPF,又12||||22PFPFa,∴2124||||PFPF2212||||2PFPF12||||162PFPF12||||PFPF,解得12||||6PFPF,∴12FFPS△121||||32PFPF,故选B.【跟踪训练】1.设P为椭圆221259xy上一点,1,F2F为左右焦点,若1260FPF,则P点的纵坐标为()A.334B.334C.934D.934【答案】B【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan2Sb求解即可.【详解】由题知12609tan332FPFS.设P点的纵坐标为h,则123343231FFhh.故选:B2.设双曲线2222:1(00)xyCabab,的左、右焦点分别为1F,2F,离心率为5.P是C上一点,且12FPFP.若△12PFF的面积为4,则a()A.1B.2C.4D.8【答案】A解法二:由题意知,双曲线的焦点三角形面积为2tan221bSFPF.∴45tan2b=4,则2b,【淘宝店铺:向阳百分百】又∵5ace,∴1a.考点二:中点弦问题(点差法)秒杀公式若椭圆与直线l交于AB两点,M为AB中点,且ABk与OMk斜率存在时,则22abKkOMAB;(焦点在x轴上时),当焦点在y轴上时,22baKkOMAB若AB过椭圆的中心,P为椭圆上异于AB任意一点,22abKkPBPA(焦点在x轴上时),当焦点在y轴上时,22baKkPBPA下述证明均选择焦点在x轴上的椭圆来证明,其他情况形式类似.直径问题证明:设00()Pxy,,11()Axy,,因为AB过原点,由对称性可知,点11()Bxy,,所以2120212010101010xxyyxxyyxxyykkPBPA.又因为点00()Pxy,,11()Axy,在椭圆上,所以有)2(1)1(1221221220220byaxbyax.两式相减得2221202120abxxyy,所以PBPAkk22ab.中点弦问题证明:设11Axy,,22Bxy,,00Mxy,则椭圆2211222222221112xyabxyab两式相减得2222122221yybxxa122220212121222122122021112====2ABOMyyyyyyyyybkkxxxxxxexxxa.双曲线中焦点在x轴上为22abkkABOM,焦点在y轴上为22bakkABOM,【精选例题】【例1】已知椭圆2222:1(0)xyGabab的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,1),则G的方程为A.2214536xyB.2213627xyC.2212718xyD.221189xy【答案】D【淘宝店铺:向阳百分百】【解析】设1122(,),(,)AxyBxy,则12xx=2,12yy=-2,2211221xyab,①2222221xyab,②①-②得1212121222()()()()0xxxxyyyyab,所以ABk=1212yyxx=212212()()bxxayy=22ba,又ABk=0131=12,所以22ba=12,又9=2c=22ab,解得2b=9,2a=18,所以椭圆方程为221189xy,故选D【例2】过双曲线C:22221xyab(0a,0b)的焦点且斜率不为0的直线交C于A,B两点,D为AB中点,若12ABODkk,则C的离心率为()A.6B.2C.3D.62【答案】D【分析】先设出直线AB的方程,并与双曲线C的方程联立,利用设而不求的方法及条件12ABODkk得到关于ac、的关系,进而求得双曲线C的离心率【详解】不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为(),0ykxck,令1122,,()()AxyBxy,由22221()xyabykxc,整理得2222222222220bakxakcxakcab则222222212122222222akcakcabxxxxakbakb,,222222222()akckbcDakbakb,则22222ODkbcbkakcak,由12ABODkk,可得2212bkak则有222ab,即2232ac,则双曲线C的离心率62cea==,故选:D【例3】已知椭圆C:22221(0)xyabab的左、右顶点分别为1A,2A,上、下顶点分别为1B,2B.点M为C上不在坐标轴上的任意一点,且1MA,2MA,1MB,2MB四条直线的斜率之积大于19,则C的离心率可以是A.33B.63C.23D.73【答案】AC【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质,结合题意即可求解.【淘宝店铺:向阳百分百】【详解】设00,Mxy,依题意可得2200221xyab,则2222002byaxa,2222002axbyb,又1212,0,,0,0,,0,AaAaBbBb,所以121222222000000222200000019MAMAMBMByyybybyybbkkkkxaxaxxxaxa,2213ba,从而22610,3bea.故选:AC.【跟踪训练】1.已知M为双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点,A为双曲线右支上一点,若点A关于双曲线中心O的对称点为B,设直线MA、MB的倾斜角分别为、,且1tantan4,则双曲线的离心率为()A.5B.3C.62D.52【答案】D【分析】设出,AB坐标,根据题意得14MAMBkk,代入斜率公式,由A点在双曲线上,消元整理得到,ab的关系,进一步求得双曲线的离心率.【详解】设00,Axy,则00,Bxy,因为1tantan4,即14MAMBkk,由(,0)Ma,所以2000220000014yyyxaxaxa,因为2200221xyab,所以2220220aaybx,即2220222014bxaaxa,得2214ba,所以12ba,即12ba,又222cab,所以22214caa,即2254ca,所以52cea,故双曲线的离心率为52e.故选:D.2.已知A,B,P是双曲线22221xyab(0a,0b)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积为43,则该双曲线的离心率为()A.52B.62C.2D.213【答案】D【分析】设11,Axy,22,Pxy,根据对称性,知11,Bxy,然后表示出PAPBkk,又由于点A,P在双曲【淘宝店铺:向阳百分百】线上,所以将其坐标代入方程中,两式相减,结合前面的式子可得2243PAPBbkka,化简可求出离心率【详解】设11,Axy,22,Pxy,根据对称性,知11,Bxy,所以2221212122212121PAPByyyyyykkxxxxxx.因为点A,P在双曲线上,所以22112222222211xyabxyab,两式相减,得2222212122xxyyab,所以2222122221yybaxx所以2243PAPBbkka,所以222273abea,所以213e.故选:D3.已知双曲线2221(0)4xybb的左、右焦点分别为1F、2F,过左焦点1F作斜率为2的直线与双曲线交于A,B两点,P是AB的中点,O为坐标原点,若直线OP的斜率为14,则双曲线的离心率是()A.62B.2C.32D.2【答案】A【分析】设1122(,),(,)AxyBxy,(,)Pmn,利用点差法,结合直线的斜率公式可求出2b,从而可求出c,进而可求出离心率【详解】1122(,),(,)AxyBxy,(,)Pmn,则2211214xyb,2222214xyb,两式相减得12121212211()()()()04xxxxyyyyb,所以212121212()()()()4yyyybxxxx,因为P是AB的中点,所以122xxm,122yyn,因为直线OP的斜率为14,所以14nm=,因为过左焦点1F作斜率为2的直线与双曲线交于A,B两点,所以12122AByykxx,所以21212224yynbxxm,21244b,得22b,所以22426cab,所以离心率为62cea==故选:A考点三:双曲线焦点到渐近线的距离为b【精选例题】【例1】若双曲线22221xyab的焦点2,0F到其渐近线的距离为3,则双曲线的渐近线方程为()A.3yxB.3yxC.13yxD.33yx【答案】B【分析】由题可得3b,1a,即得.【详解】双曲线222210,0xyabab的焦点,0c到渐近线:byxa,即0bxay的距离为:【淘宝店铺:向阳百分百】22bcbcdcab3b,而2c,从而1a,故渐近线byxa即3yx.故选:B.【例2】已知F是双曲线C:223(0)xmymm的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m【答案】A【解析】双曲线方程为22133xym,焦点F到一条渐近线的距离为3b,故选A.【跟踪训练】1.已知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