微考点6-5 利用二级结论秒杀抛物线中的选填题（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点6-5利用二级结论秒杀抛物线中的选填题【考点目录】考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论【考点分类】考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式已知倾斜角为直线的l经过抛物线pxy22的焦点F，且与抛物线交于BA,两点，则①pFBFAPBFpAF2||1||1cos1||,cos1||，.②)11(2||sin2sin2||222kpABpSpABOAB，，.③，2||pxAFA2||pxBFB,pxxABBA||.【精选例题】【例1】倾斜角为45的直线l经过抛物线24yx的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则||AB（）A．43B．4C．6D．8【答案】D【分析】根据已知条件，先求出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程可得，2610xx，再结合抛物线的定义，以及韦达定理，即可求解.【详解】直线l的倾斜角为45，直线l的斜率为1，抛物线24yx，焦点(1,0)F，直线l的方程为1yx，设1122,,,AxyBxy，【淘宝店铺：向阳百分百】联立直线与抛物线方程241yxyx，化简整理可得，2610xx，264320，由韦达定理可得，126xx，故12||628ABxxp.故选：D.【例2】已知1122,,,AxyBxy是抛物线2:8Cxy上的两点，且直线AB经过C的焦点，若1212yy，则AB（）A．12B．14C．16D．18【答案】C【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.【详解】121281216222ppAByyyyp.故选：C.【例3】已知抛物线26yx，弦AB过抛物线的焦点F且满足3AFFB，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A．32B．3C．52D．4【答案】C【分析】根据3AFFB可得123yy，再根据韦达定理即可求出,AB的坐标，进而可求解.【详解】抛物线的焦点3(,0)2F，设1122(,),(,)AxyBxy，假设20y，显然弦AB所在的直线的斜率存在且不等于零，设弦AB所在的直线方程为3()2ykx，联立23()26ykxyx，消去x可得，2690kyyk，【淘宝店铺：向阳百分百】所以129yy，因为3AFFB，所以112233(,)3(,)22xyxy，则123yy，所以212239yyy，解得23y，所以133y，所以22212119,6262yyxx，所以弦AB的中点的坐标为5(,3)2，所以弦AB的中点y轴的距离为52，故选:C.【例4】已知抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，过点F的直线l与抛物线E交于,AB两点（A在第一象限），O为坐标原点，若26AFBF，则（）A．4pB．直线l的斜率是22C．线段AB的中点到y轴的距离是52D．OAB的面积是62【答案】ACD【分析】设直线1122:,,,,2plxmyAxyBxy，与抛物线方程联立，根据2AFFB、韦达定理得出218m，再由21219ABmyy求出p可判断A；求出m可得直线l的斜率，再由点A在第一象限可判断B；设线段AB的中点为00,Mxy，根据120522xxx求出线段AB的中点到y轴的距离可判断C；利用1212SOFyy求出OAB的面积可判断D.【详解】由题意可得直线l的斜率不为0，则可设直线1122:,,,,2plxmyAxyBxy，联立22,,2ypxpxmy整理得2220ypmyp，则21212,2yypmyyp，因为2AFBF，所以2AFFB，所以122yy，所以2222yypm，所以22ypm，则221222yyyp，即222(2)pmp，解得218m，因为26AFBF，【淘宝店铺：向阳百分百】所以2212912194ABmyypmp，解得4p，则A正确；对于B，因为218m，所以24m，则直线l的斜率是22，因为点A在第一象限，所以直线l的斜率大于0，所以直线l的斜率是22，则B错误；对于C，设线段AB的中点为00,Mxy，则120522xxx，即线段AB的中点到y轴的距离是52，则C正确；对于D，因为214,8pm，所以221212122,42162OFyyyyyypm，则OAB的面积121622SOFyy，故D正确.故选：ACD.【跟踪训练】1．已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于两点A，B．若弦长||4ABp，则直线l的斜率为．【答案】1【分析】设直线l的方程为2pxmy，11,Axy，22,Bxy，联立方程，利用韦达定理求出1212,yyyy，再根据抛物线的弦长公式即可得解.【详解】由题意，直线l的斜率不等于零，,02pF，设直线l的方程为2pxmy，11,Axy，22,Bxy，联立222pxmyypx，消x得2220ympyp，222440mpp恒成立，则212122,yympyyp，所以22222221212||14144214ABmyyyymmpppmp，【淘宝店铺：向阳百分百】解得1m，所以直线l的斜率为1.故答案为：1.2．在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：220ypxp的焦点为F，过点F的倾斜角为π4的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，OAB的面积是82，则（）A．8ABB．4pC．1112AFBFD．842AF【答案】BCD【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合OAB的面积求解p，从而利用焦半径公式求解,AFBF，逐项判断即可.【详解】抛物线220ypxp的焦点为,02pF，准线为2px，设过焦点的直线方程为设直线l：2pyx，11,Axy，22,Bxy，联立直线与抛物线方程得222ypxpyx消元得22304pxpx，由韦达定理可得2124pxx，123xxp，所以124ABxxpp，又点O到直线AB的距离是2222411pp，所以1248224OABSpp，得4p，所以16AB，【淘宝店铺：向阳百分百】故选项A错误，B正确；由4p知21240xx，解得12642,642xx，所以121111111284284222ppAFBFxx，故选项C正确；18422PAFx，故选项D正确；故选：BCD.3．已知直线l：yxm过抛物线C：24yx的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（）A．1mB．8ABC．2AFBFD．抛物线C上的动点到直线2yx距离的最小值为22【答案】BD【分析】求得抛物线C的焦点代入直线l的方程，求得1m，可判定A错误；联立方程组，根据韦达定理和抛物线的焦点弦的性质，求得8AB，可判定B正确；结合抛物线的定义，求得,AFBF的值，可判定C错误；设设11(,)Mxy是抛物线C上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可判定D正确.【详解】由抛物线2:4Cyx，可得焦点为(1,0)F，因为:lyxm过抛物线C的焦点F，可得10m，解得1m，所以A错误；联立方程组214yxyx，整理得2610xx，设1122(,),(,)AxyBxy，则364320，12126,1xxxx，由抛物线的焦点弦的性质，可得12628ABxxp，所以B正确；【淘宝店铺：向阳百分百】又由2610xx，解得12322,322xx，根据抛物线的定义，可得12422,22()84222ppAFxBFx，所以2AFBF，所以C错误；设11(,)Mxy是抛物线C上的任意一点，可得2114yx，则点M到直线2yx的距离为221111112(2)4242242yyyxyd，当12y时，min22d，所以D正确.故选：BD.4．已知直线l过抛物线2:4Cyx的焦点F，且与抛物线C交于1122,,,AxyBxy两点，点M为C的准线与x轴的交点，则下列结论正确的是（）A．若125xx，则7ABB．过C的焦点的最短弦长为4C．当2AFFB时，直线l的倾斜角为π3D．存在2条直线l，使得AFBMBFAM成立【答案】AB【分析】由拋物线的定义,可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可判定B正确；设直线l的方程为1xmy，联立方程组，得到12124,4yymyy，结合2AFFB时，求得22k，可判定C错误；分别求得,,,AFBFAMBM，结合AFBMBFAM，化简代入，得到440mm恒成立，可判定D错误.【详解】由拋物线的定义可得12527ABAFBFxxp，所以A正确；当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为4，所以B正确；设直线l的方程为1xmy，联立方程组214xmyyx，整理得2440ymy，可得12124,4yymyy，当2AFFB时，122yy，则124yym，124yy，解得212,,2,222yBk，所以倾斜角不是π3，所以C错误；【淘宝店铺：向阳百分百】由1,0,1,0FM，则222222111111111AFxymyymy，222222222221111BFxymyymy，222222111111111144AMxymyymymy，222222222222111144BMxymyymymy，由AFBMBFAM，则22AFAMBFBM，可得222111222222144144mymyyymymy，化简可得121212()()0myyyyyy，由12yy，则12120myyyy，将124yym，124yy代入，则440mm恒成立，所以D错误.故选：AB.考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式①抛物线pxy22的焦点为F，),(),,(2211yxByxA是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：221221,4pyypxx.②一般地，如果直线l恒过定点)0,(mM与抛物线)0(22ppxy交于BA,两点，那么pmyymxxBABA2,2.③若ABOBOA恒过定点)0,2(p.【精选例题】【例1】已知抛物线C：22yx的的焦点为F，11,Mxy、22,Nxy是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点F的坐标为1,08B．若直线MN过点F，则12116xxC．若MFNF，则MN的最小值为14D．若3||||2MFNF，则线段MN的中点P到x轴的距离为58【答案】BCD【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线MN与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据MN过焦点可知最小值为通径长，知