微考点6-5 利用二级结论秒杀抛物线中的选填题（原卷版）

微考点6-5利用二级结论秒杀抛物线中的选填题【考点目录】考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论【考点分类】考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式已知倾斜角为直线的l经过抛物线pxy22的焦点F，且与抛物线交于BA,两点，则①pFBFAPBFpAF2||1||1cos1||,cos1||，.②)11(2||sin2sin2||222kpABpSpABOAB，，.③，2||pxAFA2||pxBFB,pxxABBA||.【精选例题】【例1】倾斜角为45的直线l经过抛物线24yx的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则||AB（）A．43B．4C．6D．8【例2】已知1122,,,AxyBxy是抛物线2:8Cxy上的两点，且直线AB经过C的焦点，若1212yy，则AB（）A．12B．14C．16D．18【例3】已知抛物线26yx，弦AB过抛物线的焦点F且满足3AFFB，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A．32B．3C．52D．4【例4】（多选题）已知抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，过点F的直线l与抛物线E交于,AB两点（A在第一象限），O为坐标原点，若26AFBF，则（）A．4pB．直线l的斜率是22C．线段AB的中点到y轴的距离是52D．OAB的面积是62【跟踪训练】1．已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于两点A，B．若弦长||4ABp，则直线l的斜率为．2．（多选题）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：220ypxp的焦点为F，过点F的倾斜角为π4的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，OAB的面积是82，则（）A．8ABB．4pC．1112AFBFD．842AF3．（多选题）已知直线l：yxm过抛物线C：24yx的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（）A．1mB．8ABC．2AFBFD．抛物线C上的动点到直线2yx距离的最小值为224．（多选题）已知直线l过抛物线2:4Cyx的焦点F，且与抛物线C交于1122,,,AxyBxy两点，点M为C的准线与x轴的交点，则下列结论正确的是（）A．若125xx，则7ABB．过C的焦点的最短弦长为4C．当2AFFB时，直线l的倾斜角为π3D．存在2条直线l，使得AFBMBFAM成立考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式①抛物线pxy22的焦点为F，),(),,(2211yxByxA是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：221221,4pyypxx.②一般地，如果直线l恒过定点)0,(mM与抛物线)0(22ppxy交于BA,两点，那么pmyymxxBABA2,2.③若ABOBOA恒过定点)0,2(p.【精选例题】【例1】（多选题）已知抛物线C：22yx的的焦点为F，11,Mxy、22,Nxy是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点F的坐标为1,08B．若直线MN过点F，则12116xxC．若MFNF，则MN的最小值为14D．若3||||2MFNF，则线段MN的中点P到x轴的距离为58【例2】（多选题）已知抛物线28yx的焦点为F，过F且倾斜角为45的直线l交抛物线于A，B两点（）A．直线l的方程为20xyB．原点到直线l的距离为2C．16ABD．128yy【例3】（多选题）已知抛物线C：24yx的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（）A．若AB中点M的横坐标为3，则AB的最大值为8B．若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为4C．设4,0N，则AN的最小值为42D．若OAOB，则直线AB过定点4,0【跟踪训练】1．（多选题）过抛物线22ypx（0p）焦点F的直线与抛物线交于11,Axy，22,Bxy两点，则说法正确的是（）A．12ABxxpB．212yypC．112AFBFpD．234OAOBp2．（多选题）已知点(1,0)M在抛物线2:20Cypxp的准线上，过抛物线C的焦点F作直线l交C于11,Axy、22,Bxy两点，则（）A．抛物线C的方程是24yxB．121xxC．当3AFFB时，323ABD．AMFBMF3．（多选题）已知1122,,,AxyBxy是抛物线2:Cyx上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，下列说法正确的是（）A．点F的坐标为1,0,4B．1212ABxxC．若OAOB，则直线AB经过定点1,0D．若点2,1,PPAPB､为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为220xy考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式①已知CDAB,是抛物线)0(2:2ppxyE中过焦点F的两条相互垂直的弦，CDAB存在最小值，且最小值为p8.②已知CDAB,是抛物线)0(2:2ppxyE中过焦点F的两条相互垂直的弦，则四边形ABCD的面积的最小值为28p.【精选例题】【例1】（多选题）过抛物线C：24yx的焦点F作两条互相垂直的直线1l和2l，设直线1l交抛物线C于A，B两点，直线2l交抛物线C于D，E两点，则ABDE可能的取值为（）A．18B．16C．14D．12【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆2220xyx内切，且与直线2x相切，设动圆圆心M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点1,0F作两条互相垂直的直线与曲线E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最小值.【跟踪训练】1．已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，过F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，则ABDE的最小值为2．已知抛物线24yx.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线24yx的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形ABCD面积的最小值为．考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式设直线l与抛物线pxy22相交所得的弦AB的中点坐标为00,yx，则0ypkAB【精选例题】【例1】已知抛物线22ypx的一条弦AB恰好以点(1,1)P为中点，弦AB的长为15，则抛物线的准线方程为（）A．12xB．=1xC．32xD．2x【例2】直线2ykx与抛物线28yx交于,AB两点，AB中点的横坐标为2，则k为（）A．1B．2C．1或2D．以上都不是【例3】直线l过抛物线24yx的焦点F，且与抛物线交于,AB两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为（）A．255B．355C．5D．25【跟踪训练】1．已知直线l与抛物线2:2Cyx相交于,AB两点，若线段AB的中点坐标为1,4，则直线l的方程为（）A．40xyB．20xyC．860xyD．230xy2．已知抛物线220ypxp的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足4BFAF，42AB.若线段AB中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.3．已知抛物线2:4Cyx，过点1,1P的直线交抛物线C于AB、两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为.考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.【精选例题】【例1】（多选题）已知,AB是抛物线2:6Cyx上的两动点，F是抛物线的焦点，下列说法正确的是（）A．直线AB过焦点F时，以AB为直径的圆与C的准线相切B．直线AB过焦点F时，AB的最小值为6C．若坐标原点为O，且OAOB，则直线AB过定点3,0D．与抛物线C分别相切于,AB两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点3,02，则点N在抛物线C的准线上【例2】（多选题）已知抛物线24yx的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（）A．111AFBFB．弦AB的长度最小值为lC．以AF为直径的圆与y轴相切D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【跟踪训练】1．（多选题）设O是坐标原点，直线20ykxk经过抛物线C：22ypx的焦点F，且与C交于A，B西点，OAF△是以OF为底边的等腰三角形，l是抛物线C的准线，则（）A．以AB直径的圆与准线l相切B．2kC．2BFFAD．OAB的面积是622．（多选题）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F在直线:lykxk上，直线l与抛物线交于点,AB（O为坐标原点），则下列说法中正确的是（）A．2pB．准线方程为2xC．以线段AB为直径的圆与C的准线相切D．直线OAOB､的斜率之积为定值考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论①知识要点：如图，假设抛物线方程为)0(22ppyx，过抛物线准线2py上一点),(00yxP向抛物线引两条切线，切点分别记为BA,，其坐标为),(),,(2211yxyx.则以点P和两切点BA,围成的三角形PAB中，有如下的常见结论:结论1.直线AB过抛物线的焦点F.结论2.直线AB的方程为)(22000yypyypxx.结论3.过F的直线与抛物线交于BA,两点，以BA,分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点),(00yxP的轨迹即为抛物线的准线.证明：过A点的切线方程为)(11yypxx，过B点的切线方程为)(22yypxx，两式相除可得：22212121122121ppxxyxxyxyxyyyyyxx.这就证明了该结论.结论4.ABPF.证明：由结论3，pxkAB0，002xpykPF.那么12120000pyxpypxkkPFAB.结论5.PBAP.证明：pxkpxkBPAP21,,则22121pxxpxpxkkBPAP.由抛物线焦点弦的性质可知221pxx，代入上式即可得1221pxxkkBPAP，故PBAP.结论6.直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点BA,的切线的交点P在抛物线准线上.且P的坐标为)2,2(2121pxxxx，显然PM平行于抛物线的对称轴.【精选例题】【例1】已知抛物线C：22xpy，（0p）的焦点为F，,0Mxyx为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为3，则直线FM的斜率为（）A．32B．33C．34D．35【例2】设抛物线C：26yx的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线1l，2l，若1l与2l交于点P，且满足23PF，则AB（）A．5B．6C．7D．8【例3】（多选题）已知抛物线2yx=的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线于AB，两点，B在第一象限，过AB，分别作抛物线的切线12ll，，且12ll，相交于点P，若BP交x轴于点Q，则下列说法正确的有（）A．点P在抛物线的准线上B．3APBC．FQBQD．若33k，则AFFB的值为13【例4】已知抛物线2:4Cxy的焦点为F，过F的直线l倾斜角为60，交C于,AB两点，过,AB两点分别作C的切线1l，2l，其交点为P，1l，2l与x轴的交点分别为,MN，则四边形PMFN的面积为________.