微考点6-6 圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点6-6圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用【考点分析】斜率和（积）构造与韦达定理目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点.倘若定点),0(tP，在椭圆上的动点),(),,(2211yxByxA，那么：①21221212211)(xxtyytyyxtyxtykkPBPA，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解.②212112212211)(xxxxtyxyxxtyxtykkPBPA,这里对交叉项1221yxyx的处理可进一步代入直线方程：mkxyAB:，化简可得：2121122112212xxmxkxmkxxmkxxyxyx212121211221))((2)(xxxxtmkxxxxtyxyxkkPBPA（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.③))(()()()(11212112212211tytyyytyxyxtyxtyxkkPBPA.可进一步代入直线方程：nmyxAB:，化简可得：2121122112212yynymyynmyynmyyxyx【精选例题】【例1】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，点0,1A在C上．过C的右焦点F的直线交C于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P满足2PMPNPFkkk，求动点P的轨迹方程．【答案】(1)2212xy；(2)x＝2【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由题意，b＝1，22ca，又222abc，解得b＝1，2a，c＝1．故椭圆C的方程为2212xy．（2）直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx．设11,Mxy，22,Nxy，00,Pxy．将1ykx代入2222xy，得2222214220kxkxk．于是2122421kxxk+=+，21222221kxxk．①由题意，有2PMPNPFkkk，即10201020001020010200112211kxykxyyyyyyyxxxxxxxxxx000000001020001020221122011kxkykxkyyykkkxkyxxxxxxxxxx000102021101kxkyxxxxx．显然点00,Pxy不在直线1ykx上，∴000kxky，从而2120120012001020211021201xxxxxxxxxxxxxxx1201202120xxxxxx．将式①代入，得22200222142210kxkxk，化简得02x．当直线MN的斜率不存在时，经检验符合题意．故满足题意的点P的轨迹方程为直线x＝2．【例2】已知点2,1A在双曲线2222:111xyCaaa上，直线l（不过点A）的斜率为1，且交双曲线C于P、Q两点.(1)求双曲线C的方程；(2)求证：直线AP、AQ的斜率之和为定值.【答案】(1)2212xy；(2)证明见解析【详解】（1）解：将点A的坐标代入双曲线C的方程可得2241111aaa，解得2a，所以，双曲线C的方程为2212xy.（2）证明：由题意，设直线l的方程为yxm，设11Pxy,、22Qxy,，联立2212yxmxy可得224220xmxm，2221681810mmm，解得1m或1m，由韦达定理可得124xxm，21222xxm，所以，【淘宝店铺：向阳百分百】12121212121111332222222APAQyyxmxmmmkkxxxxxx122121234344222202422244mxxmmxxxxmm.可得直线AP、AQ的斜率之和为0.【例3】已知O为坐标原点，椭圆222210xyabab的离心率为32，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点(2,2)D作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、EC的斜率分别记为1k、2k，求12kk的值．【答案】(1)2214xy；(2)1214kk【详解】（1）解：由题意知，32ca，椭圆的上顶点到右顶点的距离为225ab，即22222325caababc，解得2a，1b，3c，因此，椭圆的方程为2214xy．（2）解：如下图所示：不妨设11,Axy、22,Bxy，由图可知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxm，因为点2,2D，则22km，则22mk，联立2244ykxmxy可得222418440kxkmxm，222264164110kmkm，可得2241mk，即222241kk，解得38k，由韦达定理可得122221222161804141421234404141kkkmxxkkkkmxxkk，解得102k，所以，1328k，易知2,0E、2,0F，由于C在直线OD上，设00,Cxx，又由于C在直线FA上，则010122xyxx，所以，101122yxxy，【淘宝店铺：向阳百分百】1122111212122112111122222222222224222ykxkkxkyxyyykkyxxxyxxkxkxy221212121221412124kxxkkxxkkxxxx222222224212332141411414214212332144141kkkkkkkkkkkkkkk.【例4】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是12，且过点31,2M．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的左、右顶点分别为1A，2A，且P，Q为椭圆C上异于1A，2A的点，若直线PQ过点1,02，是否存在实数，使得12APAQkk恒成立．若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)22143xy；(2)存在实数35，满足题设条件【详解】（1）由题意，12cea，222abc，解得：2234ba①．∵点3(1,)2M在椭圆C上，∴221914ab②联立①、②，解得24a，23b，故所求椭圆C的标准方程是22143xy（2）解法一：由（1）知1(2,0)A，2(2,0)A．当直线PQ斜率不存在时，1:2PQlx．与椭圆联立可得135(,)24P，135(,)24Q，则13510APk，252AQk，故而1235APAQkk，可得35；得当直线PQ斜率存在且不为0时，设1:()2PQlykx，令11(,)Pxy，22(,)Qxy，则1112APykx，2222AQykx．联立223412012xyykx消去y并整理，得2222(43)4120kxkxk，则由韦达定理得，212221224431243kxxkkxxk，假设存在实数，使得12APAQkk，则121222yyxx，即122111()(2)()(2)22xxxx，整理得12121(1)(2)(2)1022xxxx，变形为1212221(1)(2)()(2)1022xxxxxx，则2222221241(1)(2)()(2)10432432kkxxkk，即22235(35)(3)()0243kxk，【淘宝店铺：向阳百分百】即222352(3)()0243kxk，即3502或2222(3)043kxk，得35或2222(3)43kxk．当2222(3)43kxk时，222112222242626()434343kkkxxxxkkk．此时，22212222(26)(26)12(43)43kkkxxkk，整理得2450k，解得0k与题设矛盾，所以2222(3)43kxk，所以35．解法二：由（1）知，1(2,0)A，2(2,0)A．可设1:2PQxmy，11(,)Pxy，22(,)Qxy．联立223412012xyxmy，得2245(34)304mymy，由韦达定理得：122334myym，122454(34)yym，所以121215()4myyyy，所以12112112112122112212223153()(2)322425155(2)5()2242APAQymyyyyyykyxxykyxmyyyyyyx故存在实数35，满足题设条件．【例5】已知椭圆C：222210xyabab的右焦点F在直线210xy上，,AB分别为C的左、右顶点，且3AFBF.(1)求C的标准方程；(2)已知2,0P，是否存在过点1,0G的直线l交C于M，N两点，使得直线PM，PN的斜率之和等于-1?若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143xy；(2)存在，其方程为：10xy【详解】（1）设右焦点,0Fc，直线210xy与x轴的交点为1,0，所以椭圆C右焦点F的坐标为1,0故在椭圆C中1c，由题意33AFacBFac，结合1c，则2a，222413bac所以椭圆C的方程为：22143xy（2）当直线l的斜率为0时，显然不满足条件1PMPNkk，当直线l的倾斜角不为0时，设直线l的方程为：1xmy，1122,,,MxyNxy，由2213412xmyxy，可得2234690mymy，由题意222Δ3643491441440mmm，则【淘宝店铺：向阳百分百】12122269,3434myyyymm由1212121212121223223333PMPNmyyyyyyyykkxxmymymymy2212122212122296232334349639393434mmmyyyymmmmyymyymmmm，化简可得PMPNkkm，由1PMPNkk，即1m，故存在满足条件的直线，直线l的方程为：10xy【例6】双曲线C：22221(0,0)xyabab的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线