专题04 数列及求和（分层练）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】专题验收评价专题4数列及求和内容概览A·常考题不丢分题型一等差数列及性质题型二等比数列及性质题型三数列求和题型四数列情境题C·挑战真题争满分1．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列na满足1122nnnaaan且*N,nnS是前n项和，且336,3Sa，则20232023S（）A．2024B．2023C．1012D．1011【答案】C【分析】根据题意和等差数列的定义和前n项求和公式,na，可得出nSn也为等差数列,从而得出答案.【详解】由题意，*122,Nnnnaaan，*121,Nnnnnaaaan，则数列na为等差数列，设公差为d，32336,3Saa，即233,2aa，则1d，则3(3)naadnn，则11+2nnnSnad所以11=2nSnadn，1=12nnSSdnn（常数），则nSn也为等差数列.则数列nSn的公差为12.题型一等差数列及性质【淘宝店铺：向阳百分百】所以111+1112122nSSnnnn所以20232023+1101222023S.故选：C2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列{}na的前n项和为nS，若48S，735S，则5a（）A．3B．5C．7D．9【答案】C【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式即可求解.【详解】由题意得1146872135adad，解得112ad，5147aad，故选：C.3．（2023·河南·统考模拟预测）设nS是等差数列na的前n项和，若25815aaa，则9S（）A．15B．30C．45D．60【答案】C【分析】根据等差数列的性质求出5a，再根据等差数列前n项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315aaaa，所以55a，所以199599452aaSa.故选：C.4．（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）设nS，nT分别是两个等差数列na，nb的前n项和．若对一切正整数n，231nnSnTn恒成立，66ab（）A．1219B．1117C．914D．57【答案】B【分析】由已知和等差数列的性质，可得66ab11111117ST.【详解】由等差数列的性质，可得661116611122aaaabbbb1111111111112112211211311134172aaSTbb.【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）等差数列na的公差为2，前n项为nS，若数列nS的最大项是第20项和第21项，则10a（）A．18B．20C．22D．24【答案】C【分析】直接利用等差数列的性质，求得210a，进而求得结果.【详解】由数列nS的最大项是第20项和第21项，可得2021SS，即1120192120202122adad，解得1200ad，即210a，因为等差数列na的公差为2，所以2110101111(2)0aada，解得1022a.故选：C.6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知na为等比数列，nS是它的前n项和．若1354aaa，且4a与7a的等差中项为98，则5S等于（）A．37B．35C．31D．29【答案】C【分析】根据等差中项及等比数列的通项公式求出公比，利用等比数列求和公式得解.【详解】1354aaa，1174aaa，解得714a，4a与7a的等差中项为98，解得42a，设等比数列na的公比为q，则3124q，解得12q，41316aaq，5516131112qS，故选：C．【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023上·江苏无锡·高三锡东高中校考阶段练习）各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，且1233,,4aaa成等差数列，若11a，则4S（）A．58或15B．58或15C．15D．58【答案】C【分析】根据条件先求解出q的值，然后根据等比数列前n项和公式求解出结果.【详解】设等比数列的公比为q，由题意可知0q，因为1233,,4aaa成等差数列且11a，所以211132aaqaq，所以2312qq，解得2q=或12q（舍），所以4141151511aqSq，故选：C.2．（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知正项数列na的前n项和为nS，且na满足212nnnaaa，若313S，11a，则3412aaaa（）A．3B．4C．9D．16【答案】C【分析】由题设易知数列na为等比数列，设公比，应用等比数列前n项和公式求公比，进而求目标式的值.【详解】因为212nnnaaa，所以数列na为等比数列，设公比为(0)qq，则231113Saqq，得2120qq，解得3q（4q舍去），所以21223412129qaaaaqaaaa．故想：C3．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知等比数列na满足51313aaaa，则10262aaaa（）题型二等比数列及性质【淘宝店铺：向阳百分百】A．1B．3C．4D．15【答案】B【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.【详解】设na的公比为0q，因为4125123111131aqaaqaaaq，解得22q，所以81410246211131aqqaaqaaaqq.故选：B.4．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列na的前n项和为nS，2532aaa，47245aa，则5S（）A．29B．31C．33D．36【答案】B【分析】根据2532aaa，47245aa可求出首项1a，公比q，然后利用等比数列求和公式即可求解.【详解】因为数列na是等比数列，2532aaa，所以3252222aaaaqaq，即222aq，则42a.又因为47245aa，故有714a.所以37418aqa，则12q，所有41316aaq，所有551161231112S，故B项正确.故选：B.5．（2023·湖南·校联考模拟预测）设nT为数列na的前n项积，若120nnaa，*nN，且3496aa，当nT取得最大值时，n（）A．6B．8C．9D．10【答案】B【分析】先求出等比数列的通项公式na，然后求出积nT，整理后，结合指数函数性质、二次函数性质分析【淘宝店铺：向阳百分百】得出结论.【详解】由题易知，0na，∵120nnaa，∴112nnaa，故na是公比为12的等比数列，∵3496aa，∴11119648aa，故1256a.∴112562nna，∴221170123182221111256112222nnnnnnnnnnnT，要使nT取得最大值，则22nn为偶数，且2172nn取最小值，由二次函数知识知，当8n或9时，2172nn取最小值，只有8n，使得22nn为偶数符合要求.故选：B.二、填空题6．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列na的前n项和为nS，若191,1,9aS成等比数列，则15Sa的最小值为．【答案】252/12.5【分析】根据给定的条件，利用等差数列性质求出5a，再表示出15Sa，并借助基本不等式求解即得.【详解】由191,1,9aS成等比数列，得2911(1)9Sa，即21919(9(2)1)aaa，则511212aaa，而10a，因此1511111151()55151252(3)(23)222aaSaaaaaa，当且仅当11a时取等号，所以当11a时，15Sa取得最小值252.故答案为：2521．（2023上·天津·高三联考）已知nS为数列na的前n项和，且22nnSa，*Nn.(1)求数列na的通项公式；题型三数列求和【淘宝店铺：向阳百分百】(2)令1211nnnnbaa，设数列nb的前项和为nT，若20232024nT，求n的最小值.【答案】(1)2nna；(2)10【分析】（1）根据数列递推式利用,nnaS之间的关系推出12nnaa，结合等比数列定义以及等比数列通项公式即可求得答案；（2）由（1）结果可得nb的表达式，利用裂项法即可求得nT表达式，解不等式即得答案.【详解】（1）当1n时，1122Sa，解得12a，又1122nnSa，所以22nnSa所以112222nnnnSSaa，即12nnaa，又因为12a，所以0na，所以12nnaa，所以数列na是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nna；（2）由（1）可得11122111121212121nnnnnnnnnbaa，所以1222311111112121212121nnnnTbbb11121n，因为20232024nT，即1120231212024n，所以122024n，因为*Nn，所以10n≥，所以n的最小值为10.2．（2023·河南新乡·统考一模）已知nS是数列na的前n项和，21(1)nnSSn．(1)若数列na为等差数列，求数列na的通项公式；(2)若10a，求数列2221{}()nann的前n项和nT．【答案】(1)nan(2)211(1)n【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn可得出121(2)nnaann，再利用相减法得22(2)nnaan，结合等差数列的条件可得其公差，从而求得1a后得出通项公式；（2）利用（1）中方法求得222nan，然后用裂项相消法求和．【详解】（1）当1n时，124SS，即1224aa．因为21(1)nnSSn，当2n时，21nnSSn，两式相减得121(2)nnaann，所以1223(2)nnaann，两式相减得22(2)nnaan．因为数列na为等差数列，所以数列na的公差1d，又1224aa，所以11a，则1(1)1nann，即数列na的通项公式为nan．（2）因为10a，所以24a，由（1）可知22(2)nnaan，所以22(1)222naann，222222212111(1)(1)nannnnnnn，222111111111449(1)(1)nTnnn．3．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，且234nnSan．(1)求na的通项公式；(2)记nnban，求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)23nna；(2)2121722,222724,322nnnnnnTnnn.【分析】（1）利用,nnaS关系，构造数列{3}na及等比数列定义写出na的通项公式；【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）得32,223,3n