专题04 数列及求和（分层练）（原卷版）

专题验收评价专题4数列及求和内容概览A·常考题不丢分题型一等差数列及性质题型二等比数列及性质题型三数列求和题型四数列情境题C·挑战真题争满分1．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列na满足1122nnnaaan且*N,nnS是前n项和，且336,3Sa，则20232023S（）A．2024B．2023C．1012D．10112．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列{}na的前n项和为nS，若48S，735S，则5a（）A．3B．5C．7D．93．（2023·河南·统考模拟预测）设nS是等差数列na的前n项和，若25815aaa，则9S（）A．15B．30C．45D．604．（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）设nS，nT分别是两个等差数列na，nb的前n项和．若对一切正整数n，231nnSnTn恒成立，66ab（）题型一等差数列及性质A．1219B．1117C．914D．575．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）等差数列na的公差为2，前n项为nS，若数列nS的最大项是第20项和第21项，则10a（）A．18B．20C．22D．246．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知na为等比数列，nS是它的前n项和．若1354aaa，且4a与7a的等差中项为98，则5S等于（）A．37B．35C．31D．291．（2023上·江苏无锡·高三锡东高中校考阶段练习）各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，且1233,,4aaa成等差数列，若11a，则4S（）A．58或15B．58或15C．15D．582．（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知正项数列na的前n项和为nS，且na满足212nnnaaa，若313S，11a，则3412aaaa（）A．3B．4C．9D．163．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知等比数列na满足51313aaaa，则10262aaaa（）A．1B．3C．4D．154．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列na的前n项和为nS，2532aaa，47245aa，则5S（）A．29B．31C．33D．365．（2023·湖南·校联考模拟预测）设nT为数列na的前n项积，若120nnaa，*nN，且3496aa，题型二等比数列及性质当nT取得最大值时，n（）A．6B．8C．9D．10二、填空题6．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列na的前n项和为nS，若191,1,9aS成等比数列，则15Sa的最小值为．1．（2023上·天津·高三联考）已知nS为数列na的前n项和，且22nnSa，*Nn.(1)求数列na的通项公式；(2)令1211nnnnbaa，设数列nb的前项和为nT，若20232024nT，求n的最小值.2．（2023·河南新乡·统考一模）已知nS是数列na的前n项和，21(1)nnSSn．(1)若数列na为等差数列，求数列na的通项公式；(2)若10a，求数列2221{}()nann的前n项和nT．3．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，且234nnSan．(1)求na的通项公式；(2)记nnban，求数列nb的前n项和nT．题型三数列求和4．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知数列na是公差为1的等差数列，且123aaa，数列nb是等比数列，且123bbb，4124abb.(1)求na和nb的通项公式；(2)设2*(1),nanncanN，求数列nc的前2n项和2nS.5．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列na的前n项和是nS，且652nnaS.(1)证明：na是等比数列.(2)求数列2nna的前n项和nT.6．（2023上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设nS是数列na的前n项和，已知111,,1,22,.nnnannaaann为奇数为偶数(1)求4a，并证明：22na是等比数列；(2)求满足20nS的所有正整数n.1．（2024·四川自贡·统考一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3,7,13,23,39,63,97，则该数列的第8项（）题型四数列情境题A．131B．139C．141D．1432．（2023下·湖南·高二校联考期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列na本身不是等差数列，但从na数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列nb（则称数列na为一阶等差数列），或者nb仍旧不是等差数列，但从nb数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列nc（则称数列na为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列na：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则1031lognna的值为（参考公式：222121216nnnn）（）A．60B．120C．240D．4803．（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程210xx改写成11xx①，将x再代入等式右边得到1111xx，继续利用①式将x再代入等式右边得到111111xx……反复进行，取1x时，由此得到数列1，111，11111，1111111，L，记作na，则当n足够大时，na逼近实数152．数列na的前2024项中，满足150.0052na的na的个数为（参考数据：151.6182）（）A．1007B．1009C．2014D．20184．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为nS，且10a，01q的等比数列na为例，先画出直线OQ：yqx，并确定x轴上一点11,0Aa，过点1A作y轴的平行线，交直线OQ于点1P，则111APaq．再过点1P作平行于x轴，长度等于1aq的线段12PM，……，不断重复上述步骤，可以得到点列nP，nM和nA．下列说法错误的是（）A．2231AAaqB．||||nnnPAqOAC．点nA的坐标为,0nSD．1||nnnPASa5．（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列na时，发现其递推公式*21,Nnnnaaan就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即3124321225431223aaaaaaaaaaaaaaaa，如果该数列na的前两项分别为121,2aa，其前n项和记为nS，若2023am，则2021S（）A．2mB．212mC．2mD．2m一、单选题1．（2023·全国·Ⅰ卷）记nS为数列na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：{}nSn为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2022·全国·统考高考乙卷）已知等比数列na的前3项和为168，2542aa，则6a（）A．14B．12C．6D．33．（2021·全国·高考甲卷）记nS为等比数列na的前n项和.若24S，46S，则6S（）A．7B．8C．9D．104．（2021·全国·统考高考甲卷）等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、填空题5．（2022·全国·统考高考乙卷）记nS为等差数列na的前n项和．若32236SS，则公差d．三、问解答6．（2023·全国·统考高考Ⅰ卷）设等差数列na的公差为d，且1d．令2nnnnba，记,nnST分别为数列,nnab的前n项和．(1)若2133333,21aaaST，求na的通项公式；(2)若nb为等差数列，且999999ST，求d．7．（2023·全国·统考高考乙卷）记nS为等差数列na的前n项和，已知21011,40aS．(1)求na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nT．8．（2023·全国·统考高考甲卷）设nS为数列na的前n项和，已知21,2nnaSna．(1)求na的通项公式；(2)求数列12nna的前n项和nT．9．（2021·全国·统考高考Ⅰ卷）已知数列na满足11a，11,,2,.nnnanaan为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前20项和.10．（2021·全国·Ⅱ卷）记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若35244,aSaaS．（1）求数列na的通项公式na；（2）求使nnSa成立的n的最小值．11．（2021·全国·Ⅱ卷）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．12．（2021·全国·统考高考乙卷）设na是首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．13．（2021·全国·统考高考乙卷）记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．14．（2021·全国·统考高考甲卷）已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列na是等差数列：②数列nS是等差数列；③213aa．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．