专题1.1 集合的概念与运算（原卷版）

专题1.1集合的概念与运算思维导图知识点总结1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.常用结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).典型例题分析考向一集合的基本概念典例一1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.62.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B为________.感悟提升1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系典例二1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝x|x－4x＋5≤0，则集合A，B，C的关系为()A.B⊆AB.A＝BC.C⊆BD.A⊆C2.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.感悟提升1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.考向三集合间的基本运算典例31.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A.∅B.SC.TD.Z2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝x2－1}，则A∩(∁RB)＝()A.{x|－1＜x＜2}B.{x|0＜x＜1}C.∅D.{x|0＜x＜2}3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]感悟提升1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.考向四Venn图的应用在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.典例四1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%2.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人.基础题型训练一、单选题1．已知集合1,0,1,2A，{|12}Bxx，则AB（）A．0,1B．1,1C．1,0,1D．0,1,22．已知集合2Axyx，Bxxa，若AB，则a的取值范围为（）A．2aB．2aC．0aD．0a3．设集合{0,1}M，{|1}NxZx，则（）A．MNB．{|1}MNxxC．{1}MND．MNM4．已知集合1,2,3,4,5,6A,2{|30}Bxxx,则ABA．0,3B．1,3C．0,1,2,3D．1,2,35．设关于x的不等式223123xxmx的解集为A，且1A，1A，则实数m的取值范围是（）A．17,33B．17,33C．17,133D．17,336．对于集合A，B，“AB”不成立的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A二、多选题7．下列关系式正确的为（）A．00B．0C．,,abbaD．08．（多选）若集合31Mxx，3Nxx，则集合{3xx或1}x（）A．MNB．RMðC．RMNðD．RMNð三、填空题9．已知实数集合1,2,3,x的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x__________．10．设全集UR，集合02Mxx，10Nxx，则图中阴影部分表示的集合为___________.11．满足{1,2,3,4}M，且{1,2}M的集合M的个数是_____________.12．若集合22210Axkxkx有且仅有2个子集，则满足条件的实数k的最小值是____.四、解答题13．已知集合221,2,21Ammmi，{3,5}B，若{3}AB，求实数m的值.14．已知全集0,1,2,3,4,5,6U，234A，，,12B，(1)UABð；(2)求U()ABð.15．若，且A∪B=A，求由实数a的值组成的集合．16．集合A是由形如3,mnmnZZ的数构成的，试分别判断3a，133b，2123c与集合A的关系.提升题型训练一、单选题1．满足条件,,,,,abMabcde的集合M的个数为A．6个B．7个C．8个D．9个2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是()A．2B．8C．-2或8D．2或83．已知集合3=|log210Axx，2|32Bxyxx，全集UR，则UAB∩ð等于（）A．1,12B．20,3C．2,13D．12,234．设集合{,}Aab,220,,Bab,若AB,则ab（）A．-1B．1C．-1或1D．05．已知集合2|1Ayyx，220Bxxx，则ABA．,0B．(,2]C．[2,1]D．[0,1]6．设集合223Axyxx，122xBx，则AB（）．A．3,1B．3,1C．1,1D．1,17．集合A，B，C满足ABAC，则成立的等式是（）．A．BCB．RRABACððC．ABACD．RRABAC痧8．对于集合M，N，定义,MNxxMxN且，MNMNNM，设94Ayy，0Byy，则ABA．9,04B．9,04C．9,0,4D．9,0,49．已知集合*N2,0Axxyxyy∣，若BA且集合B中恰有2个元素，则满足条件的集合B的个数为（）．A．1B．3C．6D．1010．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足:（1）XMM，；（2）对于X的任意子集AB，，当AM且BM时，有ABM；（3）对于X的任意子集AB，当AM且BM时，有ABM，则称M是集合X的一个“M——集合类”例如:Mbcbcabc，，，，，，，是集合Xabc，，的一个“M——集合类”.已知Xabc，，，则所有含bc，的“M——集合类”的个数为（）A．9B．10C．11D．12二、多选题11．已知集合21,3,Am，1,Bm．若ABA，则实数m的值为（）A．0B．1C．-3D．312．已知M是同时满足下列条件的集合：①0,1MM；②若,xyM，则xyM；③xM且0x，则1Mx．下列结论中正确的有（）A．13MB．1MC．若,xyM，则xyMD．若,xyM，则xyM13．给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（）A．集合0A＝为闭集合；B．集合42024A,，，，为闭集合；C．集合3|AnnkkZ＝，为闭集合；D．若集合12AA、为闭集合，则12AA为闭集合．14．设非空集合Sxmxl≤≤满足：当xS时，有2xS，给出如下四个命题，其中真命题是（）A．若1m，则1S；B．若12m，则114l≤≤；C．若12l，则202m≤≤；D．若1l，则10m三、填空题15．关于x的方程221axbx的解集为______．16．已知集合{1,2}A，{|1}Bxax，若BA，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为______.17．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合1{1,2,4}A的“长度”为3，集合23A的“长度”为0.已知集合{1,2,3,4,5,6}U，则U的所有非空子集的“长度”之和为_________.18．设集合{|Mxx是小于5的质数}，则M的真子集的个数为______，M的非空真子集的个数为______.