专题10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）

10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理思维导图知识点总结1．分类加法计数原理完成一件事有____类不同的方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要_______个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事注意点类类独立，不重不漏典型例题分析考向一分类加法原理【例1】(1)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的共有()A．18个B．15个C．12个D．9个(2)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A．8B．7C．6D．5【变式】现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________.使用分类加法计数原理时应注意的三个方面(1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的．(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类．(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．考向二分步乘法原理【例2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9【变式1】某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元【变式2】现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．考向三加法原理和乘法原理的应用【例3】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【变式】从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为()A．56B．54C．53D．52【例4】从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A．8种B．12种C．16种D．20种【变式】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60B．48C．36D．24基础题型训练一、单选题1．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（）A．14B．38C．12D．582．解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（）A．4种B．5种C．6种D．9种3．四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行实习教学，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（）A．65种B．37种C．24种D．12种4．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为A．3600B．1080C．1440D．25205．已知集合4,1,2,3A，2,1,0,3B．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（）A．16个B．12个C．9个D．6个6．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（）A．23B．13C．16D．56二、多选题7．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个22的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从A，B两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达B，A为止，下列说法正确的是（）A．甲从A必须经过1C到达B的方法数共有9种B．甲从A到B的方法数共有180种C．甲、乙两人在2C处相遇的概率为425D．甲、乙两人相遇的概率为11508．为提升学生劳动意识和社会实践能力，新华中学高二年级利用周末进行社区义务劳动．该校决定从高二年级共6个班中抽取20人组成社区服务队参加活动，其中6班有2个“劳动之星”，“劳动之星”必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则（）A．若6班不再抽取学生，则共有419C种分配方法B．若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则共有519C种分配方法C．若每个班至少有3人参加，则共有90种分配方法D．若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，则共有75种分配方案三、填空题9．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则在组成的三位数中，“凹数”的个数为.10．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有.11．如图，从丽水到上海的途径有种．12．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有项.四、解答题13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．14．已知集合{1,2,3}M，{2,3,4,5}N，设(,)Pxy，xM，yN，若点P在直线2yx的下方，则这样的点P共有多少个？15．为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.16．如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1，2，3，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有多少种？提升题型训练一、单选题1．某同学从5本不同的科普杂志，4本不同的文摘杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有（）A．20种B．9种C．10种D．16种2．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了4名工作人员到,,ABC三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，则不同的安排方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种3．甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（）A．81种B．54种C．36种D．12种4．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？A．680B．816C．1360D．14565．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有（）A．24B．36C．30D．206．已知5axx的展开式中含32x的项的系数为30，则a等于（）．A．3B．3C．6D．6二、多选题7．现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（）A．只需1人参加，有16种不同选法B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法8．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有28129CC种B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129CCCC种C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098CC种D．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有312100298CCC种三、填空题9．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种．10．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）11．记123naaaa为一个n位正整数，其中12,,,naaa都是正整数，119a，09ia2,3,,inL．若对任意的正整数(1)jjn，至少存在另一个正整数(1)kkn，使得jkaa，则称这个数为“n位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为．12．将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是．四、解答题13．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．14．1.甲､乙两个同学分别抛掷一颗质地均匀的骰子.(1)求他们抛掷的骰子向上的点数相同的概率；(2)求甲抛掷的骰子向上的点数大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.15．已知集合3,2,1,0,1,3A，4,2,1,1,2,3B，从A，B这两个集合中先后选取一个元素依次作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标.(1)求位于第二象限的不同点的个数；(2)求在圆224xy内部（不含边界）的不同点的个数.16．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？