专题2.2 函数的单调性与最值（原卷版）

2.2函数的单调性与最值思维导图知识点总结知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做y＝f(x)的．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．知识点三函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有，②∃x0∈I，使得函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有，②∃x0∈I，使得函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标思考函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？答案f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝，ymin＝．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝，ymin＝．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．典型例题分析考向一函数单调性的判定与证明例1根据定义，研究函数f(x)＝axx－1在x∈(－1,1)上的单调性．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤考向二求单调区间并判断单调性例2(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？(1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．考向三利用函数的单调性求最值例3已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3,5]．(1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．反思感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．基础题型训练一、单选题1．函数(21)5ykx在R上是减函数，则（）A．12kB．12kC．12kD．12k2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b0，则有()A．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)f(－a)－f(－b)3．函数()sin2,()3fxxxffx为()fx的导函数，令31,log22ab，则下列关系正确的是（）A．()()fafbB．()()fafbC．()()fafbD．()()fafb4．函数2108210xfxxxx的值域为A．11,86B．6,8C．11,106D．6,105．设a，Rb，若0x时，恒有24324221xxxxaxbx，则（）A．||||2abB．2abC．||||2abD．2ab6．已知函数fx的图像关于3x对称，且对任意的1x，2120,xxx，总有1212330fxfxxx，则下列结论正确的是（）A．24ffB．25ffC．06ffD．06ff二、多选题7．函数()fx满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a，b恒有()[()()]0abfafb；②对定义域内任意两个实数1x，2x都有121222fxfxxxf成立，则称为G函数，下列函数为G函数的是（）A．()21fxxB．4()fxxC．2()43fxxx，1xD．3()fxx，0x8．关于函数21||()(0,1)xxfxaaa，下列命题中正确的是（）A．函数图象关于y轴对称B．当1a时，函数在(0,)上为增函数C．当01a时，函数有最大值，且最大值为2aD．函数的值域是2,a三、填空题9．函数1()1xfxx的单调递减区间为________.10．二次函数231fxxmx在区间1,上单调递增，则实数m的取值范围是______.11．如果对于函数()fx的定义域内任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时，都有12()()fxfx且存在两个不相等的自变量1m，2m，使得12()()fmfm，则称()fx为定义域上的不严格的增函数．已知函数()gx的定义域、值域分别为A，B，1,2,3A，BA且()gx为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的函数()gx共有________个．12．已知exfxxa在1,上单调递增，则实数a的取值范围为______.四、解答题13．设函数()xafxxx,()(0)gxxxa,函数()()()Fxfxgx.(1)若3a时,画出函数()Fx的图象,并指出函数的单调区间；(2)求()Fx在区间(0,2]上的最小值.14．设函数21fxx，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．15．已知函数132fxx，二次函数gx满足110g，且不等式1gxfx的解集为2,4．(1)求fx，gx的解析式；(2)设gxhxx，根据定义证明：hx在0,上为增函数．16．设fx是偶函数，gx是奇函数，且11fxgxx，求函数,fxgx的解析式．提升题型训练一、单选题1．函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是（）A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数2．定义acadbcbd，若函数123xfxxx在,m上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．2,B．2,C．,2D．,23．已知(1)0aa，若函数2()log(1)fxax在(3,2)上为减函数，且函数a14,,2()1log,2xxgxxx在R上有最大值，则a的取值范围为（）A．21,22B．11,2C．21,22D．21,00,224．已知函数2log(1)7aaxfxx在2,3上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．5,4B．15,1,94C．5,4D．1,1[2,)25．当11x时，函数22212yxaxa有最小值是32，则a的值为（）A．78B．1C．3D．1或36．已知函数()fx是定义在1,2上的单调函数，且112fxffxx，则1f的值为（）A．1B．2C．3D．4二、多选题7．已知函数fx的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（）A．43ffB．函数fx在区间101,3上的最大值为2C．fx的解析式可表示为：323fxxxD．0a，不等式fxa的解集为37,228．函数2xyxk与函数1ykx在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．三、填空题9．12fxxx的最大值为______．10．已知函数223fxxax在23，上单调,则实数a取值范围是__________.11．函数40ayxax在1,2上的最小值为8，则实数a______.12．已知0a，bR，若3242||2axbxaxbxabxb对任意122x，都成立，则ba的取值范围是______．四、解答题13．已知函数2()3125fxxx,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.(1)R；(2)[0,3]；(3)[1,1].14．已知函数2()(,R)1axbfxabx，且112f，225f.（1）求a，b；（2）判断fx在1,上的单调性并证明.15．设函数()fx的定义域为R，且有：112f，②对任意正实数,xy都有()()()fxyfxfy，③()fx为减函数（1）求：11,,(1),(2),(4)48fffff的值；（2）求证：当[1,)x时，()0fx；（3）求证：当,xyR时，都有()()xffxfyy；（4）解不等式：()(3)2fxfx.16．对于定义在区间D上的函数fx，若存在闭区间,abD和常数c，使得对任意1[,]xab，都有1fxc，且对任意2xD，当2[,]xab时2fxc恒成立，则称函数fx为区间D上的“平底型”函数.（I）若函数12fxmxx是R上的“平底型”函数，求m的值；（Ⅱ）判断函数1fxxx是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（Ⅲ）若函数()gxpxxq是区间0,上的“平底型”函数，且函数的最小值为1，求,pq.的值．