专题2.7 函数模型及其应用（原卷版）

2.7函数模型及其应用思维导图知识点总结知识点一一次函数模型形如的函数为一次函数模型，其中.知识点二二次函数模型1．一般式：．2．顶点式：．3．两点式：．知识点三幂函数模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．知识点四几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)知识点五应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；3．求模——求解数学模型，得出数学模型；4．还原——将数学结论还原为实际问题．典型例题分析考向一一次函数模型的应用实例例1某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．反思感悟一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．考向二二次函数模型的应用实例例2牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．反思感悟利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．考向三幂函数与分段函数模型例3(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？反思感悟(1)处理幂函数模型的步骤①阅读理解、认真审题．②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．④转化成具体问题，给出解答．(2)应用分段函数时的三个注意点①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．考向四指数型函数模型例4目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402，lg1.2≈0.079，lg1.012≈0.005)(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．反思感悟在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．考向五对数型函数模型例5我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2O10，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？反思感悟有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．考向六建立拟合函数模型解决实际问题例3某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．基础题型训练一、单选题1．函数42yx的零点是（）A．2B．(2,0)C．1,02D．122．函数2()2(0)fxaxaxca的一个零点为3，则它的另一个零点是（）A．1B．1C．2D．23．函数()22xfxx在下列区间内一定有零点的是A．[1,0]B．[3,2]C．[1,2]D．[3,4]4．方程20.9021xx的实数解的个数是（）A．0B．1C．2D．35．函数12()3log||1xfxx的零点个数为（）A．1B．2C．3D．46．如果关于x的方程120xa有实数根，则a的取值范围是（）A．[2,)B．(1,2]C．(2,1]D．(0,)7．用二分法找函数()237xfxx在区间0,4上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（）．A．(0,1)B．(0,2)C．(2,3)D．(2,4)8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0fff，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定9．设a是函数13()2logxfxx的零点，若0xa，则0fx的值满足（）A．00fxB．00fxC．00fxD．以上都有可能10．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足3log(2)yax.观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤（）A．4000只B．5000只C．6000只D．7000只11．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（）A．200本B．400本C．600本D．800本12．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为()A．2元B．2.5元C．1元D．1.5元二、解答题13．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB的长为x米．(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？14．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积Ah（2m）表示成水深h（m）的函数；(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.15．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用fx万元，产量不同其费用也不同，且21,010,29lg41,10.xxfxxxx已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润Wx（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本hx万元，当产量小于或等于50万盒时180100hxx；当产量大于50万盒时2603500hxxx，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当04x时，v的值为2；当420x时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.(1)当020x时，求函数vx的表达式；(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）fxxvx可以达到最大？并求出最大值.18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002yxx，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（15x），公司甲的整体报价为y元．(1)试求y关于x的函数解析式；(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为58020000x元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．20．2016年4月16日00时25分日本九州发生7.3级