专题3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用（原卷版）

3.3导数在函数最值及生活实际中的应用思维导图知识点总结导数与不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，xx＋1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．零点与隐零点问题1．已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”)对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．典型例题分析考向一移项作差构造函数证明不等式例1(2021·南昌调研)已知函数f(x)＝1－lnxx，g(x)＝aeex＋1x－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明不等式．考向二单变量不等式恒成立或存在性问题例2已知函数f(x)＝1＋lnxx.(1)若函数f(x)在区间a，a＋12上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx＋1恒成立，求实数k的取值范围．(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．考向三构造双函数例3已知两函数f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若∀x1∈[－3，3]，∃x2∈[－3，3]，恒有f(x1)g(x2)成立，求m的取值范围．常见的双变量不等式恒成立问题的类型(1)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max.(2)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.(3)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min.(4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max.(5)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)min.(6)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max.考向四判断函数零点(方程根)的个数例4已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R).(1)当a＝0时，求证：f(x)x；(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．利用导数确定含参函数零点或方程根的个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化成确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．考向五已知函数零点个数求参数问题例5函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围．利用函数零点求参数范围的方法(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．(2)利用零点存在定理构建不等式求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(客观题常用).考向六可转化为函数零点个数的问题例6已知直线l：y＝x＋1，函数f(x)＝aex.(1)当a＝1，x＞0时，证明：曲线y＝f(x)－12x2在直线l的上方；(2)若直线l与曲线y＝f(x)有两个不同的交点，求实数a的取值范围．处理函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点问题的常用方法(1)数形结合，即分别作出两函数的图象，观察交点情况．(2)将函数交点问题转化为方程f(x)＝g(x)根的个数问题，通过构造函数y＝f(x)－g(x)，利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况．考向七与函数零点有关的证明问题例7已知函数f(x)＝lnex＋a2x2－ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝0且x∈(0，1)，求证：f(x)1＋1x－x2ex.处理函数隐性零点的三个步骤(1)确定零点的存在范围(可以由零点存在定理确定，也可以由函数的图象特征得到)；(2)根据零点的意义进行代数式的替换，替换过程中，尽可能将复杂目标式变形为常见的整式或分式，尽可能将指、对数函数式用有理式替换；(3)结合前两步，确定目标式的范围．基础题型训练一、单选题1．若1201xx，则()A．2121lnlnxxeexxB．2121lnlnxxeexxC．1221xxxexeD．1221xxxexe2．若函数yfx的导函数为yfx，且2cos26fxx，则yfx在0,上的单调增区间为A．0,6B．2,3C．0,6和,3D．0,6和2,33．设lnfxx，若函数gxfxax在区间20,e上有三个零点，则实数a的取值范围是A．10,eB．211,eeC．222,eeD．221,ee4．已知2lnfxaxx在区间0,1内任取两个不相等的实数pq、，不等式1fpfqpq恒成立,则实数a的取值范围为A．3,5B．,3C．3,5D．3,5．已知函数241e42xfxaax，若0fx，则a的取值范围是（）A．1e2,22eB．11,22C．11,2eD．12e,22e6．已知函数2lnfxaxx，在区间0,3内任取两个实数12,xx，且12xx，若不等式1221111fxfxxx恒成立，则实数a的最小值为（）A．92B．2C．22D．113二、多选题7．已知函数fx的图象如图，fx是fx的导函数，则下列结论正确的是（）A．32ffB．32ffC．323fffD．322fff8．若00000,,limxfxxyxyfx存在，则称0000,,limfxxyfxyx为二元函数,zfxy在点00,xy处对x的偏导数，记为00,xfxy.已知二元函数322,0,2fxyxxyyxy，434,40,2gxyxxyxy，则（）A．1,11xfB．关于t的函数1,18xgC．,3xft的最小值为3D．关于t的函数,xgtt有极小值三、填空题9．函数的导函数f¢（x）=__________．10．某箱子的容积与底面边长x的关系为2600602xVxxx，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为__________．11．若对任意0x，不等式eln10xxaax恒成立，则实数a取值的集合为__________.12．已知函数3log91xfxx，下列说法正确的是___________.①fx的图像关于点0,1对称②fx的图象与sin1yx有无数个交点③fx的图象与3y只有一个交点④21ff四、解答题13．要使函数y=1+2x+4xa在x∈（﹣∞，﹣1]时，y＞0恒成立，求实数a的取值范围．14．已知函数()lnafxxx（a为常数）（1）讨论函数()fx的单调性；（2）不等式()1fx在2(]0,x上恒成立，求实数a的取值范围．15．已知函数332fxxaxaaR.(1)当4a时，求fx在1,3上的最值；(2)曲线yfx与x轴有且只有一个公共点，求a的取值范围.16．已知函数e1xfxx.(1)求fx的最小值；(2)若0x，证明：2e3fxxx.提升题型训练一、单选题1．已知函数的导函数的图象如图所示，，令，则不等式的解集是A．B．C．D．[-1，2]2．函数ln||()xfxxx的图象大致为（）A．B．C．D．3．已知函数lnxfxx，2()ln(1)2gxxax，若211,ex，20,1x使得12()()fxgx成立，则实数a的取值范围是（）A．ln2,2B．ln2,2C．1,eD．ln2,e24．已知函数2()e3xfxx与()lngxaxx，设|0xfxR，|0xgxR，若存在，，使得||1，则实数a的取值范围为（）A．ln31,3eB．ln30,3C．10,eD．11,e5．设函数()yfx在区间D上的导函数为()fx，()fx在区间D上的导函数为()gx，若在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()fx在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，4323()1262xmxxfx，若对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间(,)ab上都为“凸函数”，则ba的最大值为（）A．4B．3C．2D．16．已知函数2()ln(2)1()fxxaxaxaZ在(0,)上恒不大于0，则a的最大值为（）A．2B．1C．0D．1二、多选题7．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种近似求方程根的方法—牛顿迭代法.做法如下：如图，设r是()0fx的根，选取0x作为r初始近似值，过点00,xfx作曲线()yfx的切线l，l与x轴的交点的横坐标010000fxxxfxfx，称1x是r的一次近似值，