专题4.3 三角函数的图象与性质（原卷版）

4.3三角函数的图象与性质思维导图知识点总结1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.2.辅助角公式asinα＋bcosα＝，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.[常用结论]两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）＝tanα－tanβtan（α－β）－1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝.(2)公式C2α：cos2α＝＝＝.(3)公式T2α：tan2α＝.[常用结论]1.降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，tan2α＝1－cos2α1＋cos2α.2.升幂公式：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，1±sin2α＝(sinα±cosα)2.4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，，3π2，0，(2π，1).5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1，1]最小正周期π奇偶性奇函数奇函数递增区间递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2无对称中心kπ2，0对称轴方程无[常用结论]1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.典型例题分析考向一公式的基本应用例1(1)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝()A.7210B.－7210C.－210D.210答案B解析∵α是第三象限角，∴sinα＜0，且sinα＝－1－cos2α＝－1－－452＝－35，因此，sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.(2)已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A.－211B.211C.112D.－112答案A解析∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，又tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋－12×－34＝－211.感悟提升1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考向二给值求值例2(1)(2023·淄博模拟)已知α∈－π2，0，且2cos2α＝sinα＋π4，则sin2α＝()A.－34B.34C.－1D.1答案C解析∵2cos2α＝sinα＋π4＝22(sinα＋cosα)，∴cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝12(cosα＋sinα)，∴(cosα＋sinα)cosα－sinα－12＝0，∴cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝12，由cosα＋sinα＝0平方可得1＋sin2α＝0，即sin2α＝－1，由cosα－sinα＝12平方可得1－sin2α＝14，即sin2α＝34，因为α∈－π2，0，所以2α∈(－π，0)，sin2α＜0，综上，sin2α＝－1.(2)(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosα2－sinα，则tanα＝()A.1515B.55C.53D.153答案A解析因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，解得sinα＝14.因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.感悟提升给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.基础题型训练一、单选题1．已知x∈[0，2π]，如果y=cosx是增函数，且y=sinx是减函数，那么（）A．02xB．2xC．32xD．322x2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．exyB．y=tanxC．y=lnxD．y=x|x|3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（）A．y＝xcosxB．y＝sinx－x2C．1cos2xxyD．y＝sinx＋x4．如果函数sin6fxx0的相邻两个零点之间的距离为6，则的值为（）A．3B．6C．12D．245．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间π0,2上的增函数又是以π为周期的偶函数()A．2(R)yxxB．|sin|(R)yxxC．cos2(R)yxxD．sin2e(R)xyx6．已知函数sin22fxxxR，下列结论错误的是（）A．函数fx是偶函数B．函数fx的最小正周期为πC．函数fx在区间π02，上单调递增D．函数fx的图象关于直线π4x对称二、多选题7．若函数()sinfxx的最小正周期为4π，则的值可能是（）A．2B．12C．12D．-28．关于函数3cos213yx，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个周期为B．该函数的图象关于直线3x对称C．将该函数的图象向左平移6个单位长度得到3cos21yx的图象D．该函数在区间,66上单调递减三、填空题9．函数2cos3yx的最小正周期为4，则______.10．函数sin(0)3yx的最小正周期是，则______.11．若函数cos2fxxφ的图象关于直线3x对称，则常数的一个取值为______.12．函数sin0,0,yAxA≤的局部图象如图所示，则该函数的解析式为________.四、解答题13．求下列函数的最小正周期．（1）f(x)＝cos23x；（2）y＝4sin6ax(a≠0)．14．利用“五点法”作出函数12sinyx，0,2πx的简图．15．函数()2sin()0,||2fxx的一个零点为12，其图象距离该零点最近的一条对称轴为3x．（1）求函数()fx的解析式及函数()fx的对称中心；（2）若关于x的方程()log30kfx在区间0,2上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．16．已知函数443sincossin2cos22fxxxxx.（1）求fx的最小正周期；（2）当0,4x时，求fx的最值.提升题型训练一、单选题1．下列函数不是偶函数的是（）A．2ln1fxxB．sincosfxxxC．cosfxxxD．xxfxee2．函数21sincos2fxxxxx的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图是函数sin0,πfxx的部分图像，则fx（）．A．πsin3xB．πsin23xC．2πsin23xD．πsin23x4．设函数πsin6fxx在区间0,5π上恰好有5条对称轴，则的取值范围是（）A．1316,1515B．1316,1515C．297,306D．1319,665．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝π12时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为()A．ππ,612B．ππ,612C．ππ,36D．ππ,366．函数2114cos22xxxxfx的部分图象大致是（）A．B．C．D．二、多选题7．已知函数πcos06fxx的最小正周期为π，则（）A．2B．函数π6fx为奇函数C．函数fx在π2π,33上单调递减D．直线π12x是fx图象的一条对称轴8．设0，函数()3sincosfxxx在区间0,2上有零点，则的值可以是（）A．16B．56C．13D．23三、填空题9．2sin(3)yx为偶函数，则___________.（写出一个值即可）10．设点P是()sinfxx的图像C的一个对称中心，若P到图像C的对称轴的距离的最小值是4，则()fx的最小正周期是_________.11．给出下列四个结论：①sinsin1810；②2517coscos44；③517tantan918；④tansin55.其中正确结论的序号是________.12．已知函数25sinπ,0,4fxxx，设方程,(01)fxmm的根从小到大依次为123,,xxx，且2132xxx，则m___________.四、解答题13．已知()fx是以为周期的偶函数，且0,2x时，()1sinfxx，当5,32x时，求()fx的解析式．14．已知函数sin()xfxA（其中xR，0A，0,22）的部分图象如图所示．(1)求A，，的值；(2)求fx的单调增区间.15．已知向量2cos,14ax，cos,04bx，函数fxab.（1）求fx图象的对称中心；（2）若动直线,42xtt与函数fx和函数3cos21xgx的图象分别交于M、N两点，求线段MN的长度的取值范围.16．已知函数cos2yaxb的最小值为2.最大值为4，求a和b的值．