专题4.5 简单的三角恒等变换（学生版）

4.5简单的三角恒等变换思维导图知识点总结𝟏半角公式sin𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼2,cos𝛼2=±√1+𝑐𝑜𝑠𝛼2,tan𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼1+𝑐𝑜𝑠𝛼(由降幂公式可得)证明由降幂公式𝑠𝑖𝑛2𝛼=1−𝑐𝑜𝑠2𝛼2得sin𝛼=±√1−𝑐𝑜𝑠2𝛼2，则sin𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼2；由降幂公式𝑐𝑜𝑠2𝛼=1+𝑐𝑜𝑠2𝛼2得cos𝛼=±√1+𝑐𝑜𝑠2𝛼2，则cos𝛼2=±√1+𝑐𝑜𝑠𝛼2；tan𝛼2=sin𝛼2cos𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼1+𝑐𝑜𝑠𝛼.解释半角公式，利用𝑐𝑜𝑠𝛼表示了sin𝛼2、cos𝛼2、tan𝛼2.𝟐万能公式sinα=2tanα21+tan2α2，cosα=1−tan2α21+tan2α2,tanα=2tanα21−tan2α2(由倍角公式可得)证明解释万能公式，利用tanα2表示了sinα、cosα和tanα.𝟑和化积公式sinα+sinβ=2sin𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2sinα−sinβ=2cos𝛼+𝛽2sin𝛼−𝛽2cosα+cosβ=2cos𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2cosα−cosβ=−2sin𝛼+𝛽2sin𝛼−𝛽2(由和差公式可得)证明4积化和公式sinα∙cosβ=12[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)]cosα∙cosβ=12[cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)]sinα∙sinβ=12[cos(𝛼−𝛽)−cos(𝛼+𝛽)](由和差公式可得)证明解释积化和公式相当于和化积公式的逆运算.典型例题分析考向一公式直接应用例1利用公式()C证明：（1）πcossin2；（2）cos(π)cos.考向二结合同角三角函数应用例2已知4sin5=，π,π2，5cos13，是第三象限角，求cos()的值.考向三三角恒等变换的综合应用例3利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin72cos42cos72sin42；（2）cos20cos70sin20sin70；（3）1tan151tan15.考向四二倍角公式与和差角公式例4已知5sin213，ππ42，求sin4，cos4，tan4的值.考向五三角函数的证明问题例5求证：（1）1sincos[sin()sin()]2；（2）sinsin2sincos22.考向六三角函数的应用问题例6求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）sin3cosyxx；（2）3sin4cosyxx.基础题型训练一、单选题1．sin70sin10cos10cos70（）A．12B．12C．32D．322．在ABC中，若4cos5A，3cos5B，则cosC的值为（）A．725B．1825C．2425D．24253．下列各数sin25cos27cos25sin27aoooo，2sin27cos27boo，22cos221co，22tan22.51tan22.5doo中，最大的是（）A．aB．bC．cD．d4．下列化简结果正确的个数为（）①1cos22sin52sin22cos522②tan24tan3631tan24tan36③2cos15sin152④1sin15sin30sin754A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知为第三象限角，且2sin22cos2，则πsin24的值为（）A．710B．710C．7210D．72106．已知函数2()(2cos1)sin2xfxx，则函数()fx的最小正周期和最大值分别为（）A．和1B．2和1C．和12D．2和12二、多选题7．将函数cos2sin2fxxx的图象向左平移m个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的值可能为（）A．8B．38C．58D．788．若函数()2cos(cossin)fxxxx，则（）A．()fx的最大值是4B．()fx的最小正周期是C．()fx的图象关于直线8x对称D．()fx在区间37,88上单调递减三、填空题9．13cossin22____．10．已知1sin,0,44，则2cos______11．在平面直角坐标系xOy中,已知角的顶点和点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点M的坐标为1,3，则πtan4__________．12．已知31cos20sin20a，则tan50______.（用含a的式子表示）四、解答题13．已知函数()2sincos1fxxx.（1）求函数()fx的最小正周期和最大值；（2）求函数()fx的单调减区间.14．已知25cos5，且π,π2.则tan2______.15．设函数2()2sincos23cos3fxxxx（1）求函数()fx的对称中心；（2）求函数()fx在0,上的单调递减区间．16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为210和255．(1)求sin，sin的值．(2)求sin2，cos2的值．提升题型训练一、单选题1．已知，为锐角，tan2，25cos5，则tan(2)（）A．13B．13C．211D．8112．已知π72sin410，7cos225，则sin=（）.A．45B．35C．225D．253．设0,π，若22coscos21，则（）．A．π5π,66B．ππ,63C．πππ,,632D．ππ5π,,6264．21sin703tan20（）A．4B．32C．233D．145．已知32coscos2，32sinsin2，则cos()等于（）A．12B．12C．14D．146．已知71sincos0322xx，则tan3xA．15B．35C．235D．3二、多选题7．计算下列各式，结果为3的是（）A．2sin152cos15B．2cos15sin15cos75C．2tan151tan15D．1tan151tan158．函数sin0fxx的部分图象如图所示，则下列正确的是（）A．θ的值可为5π4B．若04kf，则k为奇数C．若1220232xx，则12fxfxD．若1214xx，则12fxfx的最大值要大于22三、填空题9．已知,2，2sin2cos21，则sin______.10．已知1tan3，则2sin2sin1cos2的值为________．11．化简(tan10°－3)·1050oocossin＝________.12．函数22cos2sincos,,,22fxxxxxfx的单调递增区间为__________．四、解答题13．证明下列各式.（1）31cossincos226；（2）cossin2cos4.14．已知函数sin2sin2cos266fxxxxa的最大值是1.（1）求常数a的值；（2）求使0fx成立的x的取值集合.15．已知函数()sin()3hxx，()cos()3gxx，再从条件①22()()()fxhxgx、条件②22()()()fxhxgx、条件③()()()fxhxgx这三个条件中选择一个作为已知．求：(1)()fx的最小正周期；(2)()fx在区间3,88的取值范围．16．在锐角ABC中，274sincos222BCA．（1）求角A的大小；（2）求sinsinBC的最大值．