专题5.1 平面向量的概念及其线性运算（原卷版）

5.1平面向量的概念及其线性运算思维导图知识点总结1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB→的大小就是向量的长度(或称模)，记作|.(2)零向量：的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量.(5)相等向量：长度且方向的向量.(6)相反向量：长度且方向的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝；(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝3.共线向量定理设a为非零向量，如果有一个实数λ，使，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.[常用结论]1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→).2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.典型例题分析考向一平面向量的有关概念例1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A.a＝－bB.a∥bC.a＝2bD.a∥b且|a|＝|b|感悟提升平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.考向二向量的线性运算角度1平面向量加、减运算的几何意义例2(2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE→＝()A.－1118AB→＋518AC→B.－1118AB→＋119AC→C.－1118AB→＋49AC→D.－12AB→＋56AC→角度2向量的线性运算例3在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于()A.23a＋13bB.13a＋23bC.13a－23bD.23a－13b角度3利用向量的线性运算求参数例4在△ABC中，AB＝2，BC＝33，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若AD→＝λAB→＋μAC→，则λ－μ＝________.感悟提升平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.考向三共线向量定理的应用例5(1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，AB→＝4a＋6b，BC→＝－a＋3b，CD→＝a＋3b，则()A.A，B，D三点共线B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线D.A，C，D三点共线(2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB→＝AM→，yAC→＝AN→，则1x＋1y的值为()A.3B.4C.5D.6感悟提升利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB→，AC→共线.(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.考向四等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得OP′→＝kOP→，则OP′→＝kOP→＝kλOA→＋kμOB→，又OP′→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OP′→，OP′→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.例给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧AB︵上运动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.基础题型训练一、单选题1．下面给出的关系式中正确的个数是（）①00a；②abba；③22aa；④aabb；⑤222()ababA．1B．2C．3D．42．下列结论中，正确的是（）A．2020cm长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得,OAOB是单位向量C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从A点到B点的位移3．若a＝(1，1)，b＝2，且aba，则a与b的夹角是（）A．6B．4C．3D．24．若ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则·BMMG的取值范围是（）A．30,2B．30,4C．3,04D．33,225．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，那么向量ab与b的夹角为（）A．45B．60C．90D．1356．已知空间任一点O和不共线的三点A、B、C，下列能得到P、A、B、C四点共面的是（）A．OPOAOBOCB．111333OPOAOBOCC．1122OPOAOBOCD．以上都不对二、多选题7．若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量32ae，23be，则下列说法正确的是（）A．abB．49baC．a与b的夹角为πD．1ab8．对于两个向量a和b，下列命题中错误．．的是（）A．若a，b满足||||ab，且a与b同向，则abB．ababC．||||||ababD．||||||abab三、填空题9．若向量a，b满足10a，5b，5ab，则a与b的夹角为_________.10．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，2π3A，2b，4c，12AMABACuuuruuuruuur，则AM___________.11．在ABC中，3,1ABAC，且2ABAC，则RABAC的最小值是___________.12．已知向量a，b，c，满足2a，3b，4c，01≤≤，若0bc，则1abc的最小值为______.四、解答题13．运用数量积知识证明下列几何命题：(1)在RtABC中，90C，则222CACBAB；(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.14．如图所示，ABC中，2,3ADABDEBCuuuruuur∥，BC边上的中线AM交DE于点N，设,ABaACb，用向量,ab表示,,,,AEBCDEDNAMuuuruuuruuuruuuruuur.15．已知2a，1b且a与b的夹角为4，又3OCab，23ODab，(1)求a在b方向上的投影；(2)求CD．16．平面内给定三个向量2,2,1,4,,3abnck，且2acba∥．(1)求实数k关于n的表达式；(2)如图，在OAB中，G为中线OM上一点，且2OGGM，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（,PQ不与O重合）.设向量3,OPkOAOQmOB，求2mn的最小值．提升题型训练一、单选题1．已知,ab是互相垂直的单位向量，若2cab，则bc（）A．2B．1C．0D．22．如图，四边形ABCD中，ABDC，则相等的向量是（）A．AD与CBB．OB与ODC．AC与BDD．AO与OC3．下列命题正确的是A．ababB．ababC．00aaD．//abab4．对于非零向量a，b，定义tan,ababab．若66ababab，则tan,ab（）A．233B．465C．526D．3585．设向量a，b满足2a＝，1b＝，60ab〈，〉＝，则atb的取值范围是（）A．[2，＋∞)B．[3，＋∞)C．[2，6]D．[3，6]6．已知1a，2b，则abab的最大值等于（）A．4B．37C．25D．5二、多选题7．有如下命题，其中真命题为（）A．若幂函数yfx的图象过点12,2，则132fB．函数11xfxa（0a且1a）的图象恒过定点1,2C．函数21fxx在0,上单调递减D．已知向量a与b的夹角为3π4，且2a，3b，则a在b方向上的投影向量是23b．8．下列命题中假命题的是（）A．向量a与向量b共线，则存在实数使abRB．a，b为单位向量，其夹角为θ，若||1ab，则ππ3C．若0ab，则abD．已知1e与2e是互相垂直的单位向量，若向量12eke与12kee的夹角为锐角，则实数k的取值范围是0k.三、填空题9．下列向量中，a与b一定共线的有_______．（填序号）①2ae，2be；②12aee；1222bee；③12245aee，12110bee；④12aee，2122bee．10．已知向量,ab，满足2a，1b，且52abab，则a与b的夹角为______.11．已知向量a与b的夹角是56，且aab，则向量a与ab的夹角是_____.12．已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知,ABaADb，则DO__．四、解答题13．如图，网格小正方形的边长均为1，求||abcd.14．如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出ab；(2)以B为始点，作出cde；(3)若a为单位向量，求ab、cd和cde．15．已知1a，12ab，12abab．（1）求向量a与b的夹角；（2）求.ab16．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60角的两条数轴，1e、2e分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量12OPxeye，则把有序数对,xy叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，假设1232OPee.(1)计算||OP的大小；(2)是否存在实数n，使得OP与向量(1,)bn垂直，若存在，求出n的值，若不存在请说明理由．