专题5.3 平面向量的数量积及其应用（原卷版）

5.3平面向量的数量积及其应用思维导图知识点总结1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，叫作向量a与b的夹角.当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b；当θ＝90°时，则称a与b，记作.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量叫作向量a和b的数量积，记作，即a·b＝.(3)投影向量设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA→表示向量a，OB→表示向量b，过点A作OB→所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量OA1→的变换称为向量a向向量b，向量OA1→称为向量a在向量b上的.向量a在向量b上的投影向量为2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.[常用结论]1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.典型例题分析考向一数量积的计算例1(1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝()A.－2B.－1C.1D.2(2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝π4，则AC→·FN→＝________.感悟提升平面向量数量积的两种运算方法：(1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.考向二数量积的应用角度1夹角与垂直例2(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝()A.－6B.－5C.5D.6(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________.角度2平面向量的模例3(2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________.感悟提升1.求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|＝x2＋y2.(2)利用|a|＝a2.2.求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cosθ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π].(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.考向三平面向量与三角的结合应用例4(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则()A.|OP1→|＝|OP2→|B.|AP1→|＝|AP2→|C.OA→·OP3→＝OP1→·OP2→D.OA→·OP1→＝OP2→·OP3→感悟提升向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.基础题型训练一、单选题1．已知两个平面向量、ab的夹角为23，且1||ab＝＝，则||ab-等于（）A．3B．1C．23D．22．已知向量,ab满足2π1,2,,3abab，则aab（）A．－2B．－1C．0D．23．已知向量,ab满足4,6,8abab，则ab（）A．2B．210C．8D．4104．在等腰三角形ABC中，5ABAC，2BC，若P为边BC上的动点，则()APABAC（）A．4B．8C．4D．85．设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为23时，a在e方向上的投影为（）A．32B．12C．12D．326．已知向量AB与AC的夹角为120，且2,3ABAC，若APABACuuuruuuruuur，且()0APACAB，则实数的值为（）A．37B．127C．6D．13二、多选题7．已知单位向量a，b，则下列式子正确的是（）A．22abB．1abC．0abD．ab8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且1OB，则下列说法正确的是（）A．ABEFB．OAOHEDC．2OBODOCD．22ODOG三、填空题9．已知3m，4n，且m与n的夹角为34，则mnurr______．10．在边长为4的等边ABC中，,BDDCAPPD，则BPAC___________.11．若向量a、b满足1a、2b，且a、b的夹角为3，则2ab______．12．如图，正ABC的外接圆O半径为59，点M是劣弧AB上的一动点，则MAMBMOMCMAMB的最小值为_________．四、解答题13．已知向量,ab满足0ab，且aacabab，求证ac．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是3，求向量2amn与23bnm的夹角.15．已知||2||2ab，且向量a在向量b方向上的投影数量为1.（1）求a与b的夹角；（2）求(2)abb；（3）当为何值时，向量ab与向量3ab互相垂直？16．设ab且||2,||1ab，k、t是两个不同时为零的实数.(1)若3xatbrrr与ykatburrr垂直，求k关于t的函数关系式kft；(2)求出函数kft的最小值.提升题型训练一、单选题1．已知1abrr，3ab，设a与b的夹角为，则cos（）A．32B．12C．12D．322．已知非零向量a，b满足22abrr，且2aab，则向量a，b的夹角（）A．34B．23C．3D．43．已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且230OAOBOC，则OAOB（）A．2B．1C．2D．14．已知平面向量a，b满足3,1a，2b，2ab，则a与b的夹角为（）A．2π3B．π4C．3π4D．5π65．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足1R2CMCACB，则CABM的取值范围是（）A．4,4B．0,4C．0,6D．6,66．ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AOABAC且OAAB，则向量AB在向量BC方向上的投影为A．12B．32C．32D．12二、多选题7．边长为1的菱形ABCD中，60ABC，已知向量,ab满足2,ABaACb，则下列结论中正确的有（）A．b为单位向量B．4//abBDC．abD．abAB8．已知O是ABC的外心，45C，若(,)OCmOAnOBmnR，则mn的取值可能是（）A．2B．-1C．1D．2三、填空题9．若向量(3,4)a，||5b，||53ab，则a与b的夹角为___________.10．已知平面向量a、b的夹角为π3，且1a，1b，则2ab______．11．在直角坐标系xOy中，已知点1,0A，10B,，1,1C，动点P满足0PAPB，则COCP的取值范围是__________．12．在ABC中，·1ACABAB，·2BCBABA，则AB边的长度为__．四、解答题13．已知向量a与b的夹角为，5a，4b，分别求在下列条件下的ab：(1)120=?；(2)//ab；(3)ab．14．已知向量a、b中至少有一个不为零向量，对于a、b及向量c、d，求函数22Ryxacxbdx取得最小值时的条件．15．已知4a,3b,23261abab.（1）求a与b的夹角；（2）求ab和ab.16．如图，边长为2的菱形ABCD中，60A，E、F分别是BC，DC的中点，G为BF、DE的交点，若,ABaADb（1）试用a，b表示AE，BF，CG；（2）求BFCG的值.