专题6.1 数列的概念及通项公式（原卷版）

6.1数列的概念及通项公式思维导图知识点总结1．数列的有关概念概念含义数列按照排列的一列数数列的项数列中的数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝2．数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列⇔anan＋1递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列⇔anan＋1常数列的数列⇔an＝an＋1摆动数列从第项起，有些项它的前一项，有些项它的前一项的数列典型例题分析考向一利用an与Sn的关系求通项或项1．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，则S2022＝()A．2020B．2021C．2022D．20242．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，则an＝()A．5×6nB．5×6n＋1C.1，n＝1，5×6n－2，n≥2D.1，n＝1，5×6n－2＋1，n≥2方法总结(1)已知Sn求an，注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．考向二由递推关系求通项公式方法(一)累加法[例1](1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.方法(二)累乘法[例2]已知数列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，则数列{an}的通项公式an＝________.方法(三)构造法[例3](1)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝13an－1＋13n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N，n≥1)，则数列{an}的通项公式an＝______.方法技巧(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为an＋1an＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1代入求出通项．(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键．(4)形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．考向三数列的函数性质及其应用角度1数列的周期性[例1]数列{an}满足a1＝2，an＋1＝11－an(n∈N*)，则a2023等于()A．－2B．－1C．2D.12角度2数列的单调性[例2]已知数列{an}的通项公式为an＝an2－78a＋174n＋172，n≤2，an，n2，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A．(1.5，＋∞)B．(1.8，＋∞)C．(2，＋∞)D．(2.25，＋∞)角度3数列的最值[例3]已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)23n，若数列最大项为ak，则k＝________.[方法技巧]1．解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．3．求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数的单调性求最值．基础题型训练一、单选题1．已知数列na的前4项依次为2，6，12，20，则数列na的通项公式可能是（）A．42nanB．22(1)nnanC．2nannD．1321nnan2．已知数列2,2,6,,2,n，则6是这个数列的（）A．第6项B．第12项C．第18项D．第36项3．若()Pn表示正整数n的个位数字，2(2)naPnPn，数列na的前n项和为nS，则2021S（）A．1B．0C．1009D．10114．已知等差数列na中，13920aaa，则574aa（）A．30B．20C．40D．505．数列na中，12,aaab且满足12nnnaaa，则2020a的值为()A．bB．b－aC．－bD．－a6．设数列na满足12a，111nnaa，记na前n项之积为nT，则2021T（）A．-2B．-1C．1D．2二、多选题7．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（）A．25916B．361521C．491831D．6428368．斐波那刻螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的14圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为(N)nan，数列na满足11a，21a，21(N)nnnaaan，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为(N)nbn，则下列说法正确的有（）A．13578aaaaB．62984aaaaaC．54364πbbaaD．67544bbb三、填空题9．在数列21nn中，第7项是________．10．已知数列na满足11a，1121nnnnaaaann（*nN），则na______．11．函数fx由下表定义：x12345fx41352若12a，1nnafa，1n，2，3，…，则2022a______．12．已知数列na满足1nnaa，且其前n项和nS满足1nnSS，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式na______．（写出一个即可）四、解答题13．已知数列na中，12213aa,，21121nnnaaa*()3nnN，，求34,aa.14．数列{an}中，a1＝1，a2＝3，21na－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．15．已知数列na满足123232nnaaana，求数列na的通项公式．16．在数列na中，已知11a，121nnnaa.（1）求数列na的通项公式na；（2）记1nnban，且数列nb的前n项和为nS，若2S为数列nS中的最小项，求的取值范围.提升题型训练一、单选题1．数列2、6、10、14的下一项应该是（）A．17B．23C．32D．192．数列na中，112,2nnaaan，则100a等于（）A．900B．9902C．9904D．101003．已知na中，11a，11nnnana，则数列na的通项公式是()A．1nanB．21nnaC．nanD．12nnan4．若不等式1(1)(1)nnnan对任意*Nn恒成立，则实数a的取值范围是（）A．112，B．112，C．122，D．122，5．已知na满足12nnaan，且132a，则nan的最小值为A．821B．525C．313D．106．已知数列na中，11a，且11()()2nnnaanN，若存在正整数n，使得1()()0nntata成立，则实数t的取值范围为A．213tB．112tC．2536tD．122t二、多选题7．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列na，下列说法正确的是（）A．若13a，则5131213aB．若122a，则10022aC．若16a，则100a的最后一个数字为6D．若1123a，则100a中没有数字48．设数列na的前n项和为nS，且满足112,1,1,nnnanaana为奇数为偶数，则下列说法中正确的有（）A．62aB．数列na为递增数列C．202212aD．2022.5S三、填空题9．在数列na中，11a，23a，1213nnnaana，则5a______．10．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．11．已知数列{}na的前n项和21nnSa，数列1{1}nnSa的前n项和634nT，*Nn，则正整数n的最大值为_________.12．已知数列na满足11a，1nnnaa，数列nb满足2nnba，则数列nb的前n项和nS______．四、解答题13．已知2*11nnaaaanN，，.若na是常数数列，求1a的值.14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.（1）n为何值时，an有最小值？并求出最小值；（2）数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．15．已知函数22()1xfxx，()nafn.（1）求证：对任意nN，1na.（2）试判断数列na是否是递增数列，或是递减数列？16．已知数列na的前n项和为nS，12a，32nnSna．（1）求na的通项公式；（2）设22nnnnba，求数列nb的前n项和nT．