专题6.3 等比数列（原卷版）

6.3等比数列思维导图知识点总结1．等比数列的有关概念定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列通项公式设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab2.等比数列的前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.典型例题分析考向一等比数列基本量的运算1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝()A．14B．12C．6D．3解析：选D设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，即a11－q31－q＝168，a1q1－q3＝42，解得a1＝96，q＝12，所以a6＝a1q5＝3，故选D.2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2a4的值为()A．4B．5C．6D．7解析：选C根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝a11－271－2＝1016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒log2a4＝log226＝6.故选C.3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝72a2，则S4＝______.解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝72a2得，a1＋a2＋a3＝72a2，即1＋q2＝52q，解得q＝2或q＝12，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝1－241－2＝24－1＝15.答案：15方法总结等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.考向二等比数列的判定或证明[典例]已知数列{an}满足a1＝12，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，∵a1＝12，a2＝1，∴a2－a1＝12，∴数列{an＋1－an}是以12为首项，4为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＋1－an＝12×4n－1＝22n－3，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1＝12＋121－4n－11－4＝13(22n－3＋1)当n＝1时，a1＝13(2－1＋1)＝12满足上式．所以，an＝13(22n－3＋1)(n∈N*)．[方法技巧]等比数列的判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}式法是等比数列注意(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可考向三等比数列的性质[典例](1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为()A．ππB．－ππC．±ππD．π3(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝()A．6B．5C．4D.1＋log352[解析](1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝a25，所以a5＝±π，所以a3a5a7＝a35＝±ππ.故选C.(2)log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5.[答案](1)C(2)B[方法技巧](1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．基础题型训练一、单选题1．数列{an}的前n项和为Sn，若133nnSm，且{an}是等比数列，则m＝（）A．0B．3C．4D．62．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第4天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里3．设{}na是首项为正数的等比数列,公比为,q则“0q”是“对任意的正整数212,nnnaa0”的A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列na的前n项和21nnSa，则确定2nan的最大正整数n的值为（）A．2B．3C．4D．55．在各项都为正数的等比数列na中，13a，3124aa，则公比q的值为（）A．3B．3C．3D．26．已知数列na的前n项和为nS，其中11a，1a，22a，33a成等差数列，且*11,1nnaSnN，则na（）A．21nB．12nC．111nD．1n二、多选题7．已知等比数列na是单调数列，设nS是其前n项和，若1243a，53a，则下列结论正确的是（）A．327aB．63nnaC．4332nnSD．121211nnaaaaaa8．已知函数lgfxx，则()A．2f，10f，5f成等差数列B．2f，4f，8f成等差数列C．2f，12f，72f成等比数列D．2f，4f，16f成等比数列三、填空题9．等比数列{}na中，32a，78a，则5a__________10．等比数列{}na为非常数数列，其前n项和是nS，当333Sa时，则公比q的值为_____．11．在递增的等比数列na中，623a，398aa，则20242021aa________．12．已知数列na的前n项和为2nnSt（其中t为常数），若na为等比数列，则t=___________四、解答题13．已知等比数列na的首项116a，公比116q，在na中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列nb.(1)求数列nb的通项公式；(2)记数列nb前n项的乘积为nT，试问：nT是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.14．已知数列na满足135a，1321nnnaaa．(1)证明：存在等比数列nb，使2nnnbab；(2)若12311112022naaaa，求满足条件的最大整数n．15．已知等差数列na的公差2d，且252aa，na的前n项和为nS.（1）若mS、9a、15a成等比数列，求m的值.（2）令21nanb，求数列nb的前n项和nT．16．已知na是递增的等差数列，1518aa，1a，3a，9a分别为等比数列nb的前三项.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)删去数列nb中的第ia项（其中123i，，，），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列nc，求数列nc的前n项和nS.提升题型训练一、单选题1．已知等比数列na的前n项和为nS，24S，且3214Saa，则5S（）A．40B．120C．121D．3632．记等比数列na的前n项和为nS，已知5=10S，1050S，则15=S（）A．180B．160C．210D．2503．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（）A．50B．100C．146D．1284．已知数列na是等比数列，nS为其前n项和，若1234aaa，4568aaa，则12S（）A．40B．60C．32D．505．已知等比数列na中，123nna，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前n项和为（）A．31nB．331nC．1914nD．3914n6．已知na为等比数列，若231aaa，且4a与72a的等差中项为58，则1234aaaa的值为（）．A．5B．512C．1024D．64二、多选题7．记nS为数列na的前n项和，若222nnSnann，且4a，7a，9a成等比数列，则（）A．na为等差数列B．112aC．5a，9a，11a成等比数列D．nS有最大值，无最小值8．以下关于数列的结论正确的是（）A．若数列na的前n项和22nSnn，则数列na为等差数列B．若数列nb的前n项和121nnT，则数列nb为等比数列C．若数列na满足*1122,Nnnnaaann，则数列na为等差数列D．若数列nb满足2*112,Nnnnbbbnn．则数列nb为等比数列三、填空题9．若等比数列na的前n项的和为nS，且满足23S，316SS，则6a=__________.10．已知nS为等比数列na的前n项和，55S，1015S，则1617181920aaaaa的值为______．11．正项等比数列na的前n项和为nS，若3424,5aSS，则6S________.12．已知数列na满足117282a，131nnaa，则满足不等式10kkaa的k的值为___________.四、解答题13．设nS为等差数列na的前n项和，已知25a，33a，41S既成等差数列，又成等比数列．(1)求na的通项公式；(2)若11nnnnabSS，求数列nb的前n项和nT．14．设等比数列{}na的前n项和为nS，公比1q，2316,84aS.(1)求数列{}na的通项公式；(2)求数列{}nna的前n项和为nT.15．在数列na和等比数列nb中，10a，32a，1*2nanbnN.（1）求数列nb及na的通项公式；（2）若12nnncab，求数列nc的前n项和nS.16．已知等差数列na的前n项和为nS，11a，5624Sa．数列nb满足343nanb．（1）