专题8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）

8.2空间点、直线、平面之间的位置关系思维导图知识点总结1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实1：过的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线.(2)“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条直线，有且只有一个平面.2.空间点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系共面直线相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面、直线与平面三种情况.(3)空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有、两种情况.3.基本事实4和等角定理(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线.(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.4.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.[常用结论]1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.典型例题分析考向一基本事实的应用例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.感悟提升共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.考向二空间两直线位置关系的判断例2(1)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则()A.在平面α内存在直线与直线AB异面B.在平面α内存在直线与直线AB相交C.存在过直线AB的平面与平面α垂直D.在平面α内存在直线与直线AB平行(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________.感悟提升空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.考向三求异面直线所成的角例3(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6(2)(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22感悟提升综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线；(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.基础题型训练一、单选题1．已知//ABPQ，//BCQR，60ABC，则与ABC两边方向相同的PQR等于（）A．60°B．60°或120°C．120°D．以上结论都不对2．在正方体1111ABCDABCD中，异面直线1AB与1AD所成角的大小为A．30B．45C．60D．903．异面直线,ab上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20B．9C．39CD．21214554CCCC4．已知m、n是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中真命题为（）A．若,mn∥，则m∥nB．若m∥，m∥，则∥C．若∥，m，则m∥D．若∥，m∥，则m∥5．平面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是4，则l与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（）A．0,4πB．0,2C．,42D．,426．如图，在正四棱锥PABCD中，设直线PB与直线DC、平面ABCD所成的角分别为、，二面角PCDB的大小为，则（）A．,B．,C．,D．,二、多选题7．下列命题中正确的是（）A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行8．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若//m，//，则//m；B．若//mn，m，n，则//；C．若m，//，则m；D．若m，n，，则mn；三、填空题9．正方体1111ABCDABCD中，异面直线1AD与AC所成角的大小为________．10．如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知3ABBC，将直角ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体ABCDE中AB与DE所成角的正切值为_____．11．下列命题正确的有______①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;⑥若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.12．三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，PAB和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______．四、解答题13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？14．在四面体ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且13CFAEFBEB．求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)直线EH，BD，FG相交于一点．15．空间四边形ABCD中，ABCD，点MN、分别为对角线BD、AC的中点.（1）若直线AB与MN所成角为60，求直线AB与CD所成角的大小；（2）若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小.16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．提升题型训练一、单选题1．给出下列三个命题：①若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点；②若直线l与平面所成角为60，则经过l有且只有一个平面与垂直；③平行于同一条直线的两个平面平行.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．32．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//m，n，则//mnB．若//m，//，则//mC．若//mn，m，则nD．若//m，，则m3．给出以下结论：（1）直线a∥平面，直线b⊂，则a∥b；（2）若a⊂，b，则a、b无公共点；（3）若a，则a∥或a与相交；（4）若a∩＝A，则a.正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在长方体1111ABCDABCD中，11,2ABADAA，且E为1DD的中点，则直线1BD与AE所成角的大小为（）A．π3B．π4C．π6D．5π65．下列命题：①若m//α，则m与α内的任何直线平行；②若α⊥β，bα，mβ，且b⊥m，则b⊥β；③若mα，nα，且m//β，n//β，则α//β；④若mα，nα，且a⊥m，a⊥n，则a⊥α；⑤若l1∩l2=P，l2∩l3=Q，l3∩l1=S(P、Q、S是不同的三点)，则l1，l2，l3共面；其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．如图，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD所成角为3，点E，F分别为BC，AD的中点，则直线AB与EF所成角为（）A．3或6B．6C．3D．6或2二、多选题7．给出以下说法,其中正确的是A．不共面的四点中,其中任意三点不共线B．若点,,,ABCD共面,点,,,ABCE共面,则点,,,,ABCDE共面C．若直线,ab共面,直线,ac共面,则直线,bc共面D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面8．如图，在长方体1111ABCDABCD中，14,2AAABBC，M，N分别为棱111,CDCC的中点，则下列说法正确的是（）A．M，N，A，B四点共面B．直线BN与平面ADM相交C．直线BN和1BM所成的角为60D．平面ADM和平面1111DCBA的夹角的正切值为2三、填空题9．设A与B的两边分别平行，若40A，则B___________.10．若向量(7,,8)a，(1,1,2)b，(2,3,1)c，且,,abc共面，则____.11．如图，在正方体1111ABCDABCD中，1AB，11AD中点为P，则过P､A､C三点的截面面积为___________.12．已知a、b是异面直线，M为空间一点，M∉a，M∉b．给出下列命题：①存在一个平面α，使得b⊂α，a∥α；②存在一个平面α，使得b⊂α，a⊥α；③存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b；④存在一条直线l，使得M∈l，l与a、b都相交．其中真命题的序号是_____．（请将真命题的序号全部写上）四、解答题13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？14．空间四边形ABCD中，,,,EFGH分别在,,,ABBCCDAD上，且满足::2:1AEEBCFFB，::3:1CGGDAHHD．求证：,,EHFGBD三线共点．15．如图，在四面体ABCD中，4ABACCDBD，43BC，2AD．（Ⅰ）证明：BCAD；（Ⅱ）求二面角ABCD的大小．16．已知S是矩形ABCD所在平面外一点，SABC，BSCD，SA与CD所成角大小为3，SD与BC所成角大小为6，1SA，分别求直线SA与CD的距离及SB与AD的距离．