专题8.4 空间直线、平面的垂直（原卷版）

8.4空间直线、平面的垂直思维导图知识点总结1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线a与平面α垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⊥ml⊥nm∩n＝Am⊂αn⊂α⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：0，π2.3.二面角(1)定义：一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫作二面角.(2)二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.两个平面垂直(1)两个平面垂直的定义一般地，如果两个平面所成的二面角是，那么就说这两个平面互相垂直.(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α[常用结论]1.三个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.2.三种垂直关系的转化线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直典型例题分析考向一直线与平面垂直的判定与性质1(2023·镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.感悟提升证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.考向二平面与平面垂直的判定与性质2如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.感悟提升1.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质定理的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.3.(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明：EF∥平面ABCD；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).考向三平行、垂直关系的综合应用4.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由.感悟提升1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直性质及判定的综合应用.2.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.3.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.5.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC6.(2023·长沙调研)如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角△ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是()A.CD⊥ABB.BC⊥ADC.BD⊥ABD.BC⊥CD7.(多选)(2023·青岛质检)四棱台ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，则()A.直线AD与直线B1D1所成角为45°B.直线AA1与直线CC1异面C.平面ABB1A1⊥平面ADD1A1D.CA1⊥AD基础题型训练一、单选题1．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（）A．若∥，m，n，则mn∥B．若m，n，且m∥，n∥，则∥C．若，m，则mD．若，m，m，则m∥2．下列命题①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；②有三个角是直角的四边形是矩形；③如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直④如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行⑤圆锥的顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线；其中正确命题的是()A．①②③B．①②⑤C．①③D．②③⑤3．已知a，b是两条直线，是一个平面，则下列判断正确的是（）A．a，b，则baB．//a，b，则//abC．ba，b，则aD．//a，b，a，则//a4．已知底面是正方形的直四棱柱1111ABCDABCD的外接球的表面积为40，且2AB，则1AC与底面ABCD所成角的正切值为A．2B．22C．3D．45．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，1PAAB，2AC.三棱锥PABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（）A．2B．2C．22D．326．三棱锥ABCD底面BCD是边长为2的正三角形，AB，AC，AD两两成角相等，2AEAB，2BCFC，2DEF.则三棱锥ABCD外接球的体积为（）A．86B．46C．26D．32二、多选题7．已知两个平面垂直，下列命题错误的有（）A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面8．已知l，m，n为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A．若m，m，//，则//B．若//，l，m分别与，所成的角相等，则//lmC．若l，m，nI，若//lm，则//nmD．若n，，，则n三、填空题9．已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA平面ABC，ABAC，5PA，3BC，则该球的表面积为________．10．把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD平面CBD.则空间四边形ABCD的对角线AC的长为__________.11．如图为三棱锥ABCD的平面展开图，其中2ACCDCB，AEBD，垂足为C，则该三棱锥的体积为______．12．在梯形ABCD中，//ADBC，ABBC，222ADABBC，将ABC沿对角线AC翻折到AMC，连结MD．当三棱锥MACD的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．四、解答题13．已知正方体ABCD-1111DCBA的棱长为2.(1)求三棱锥1ACBD的体积；(2)证明：1ACBD.14．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.15．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，60BAD，E，F分别为AB，PC的中点．（1）证明：//EF平面PAD；（2）证明：AB平面PDE．16．如图所示，四棱锥PABCD，底面ABCD为四边形，ACBD，BCCD，PBPD，平面PAC平面PBD，23AC，30PCA，4PC（Ⅰ）求证：PA平面ABCD；（Ⅱ）若四边形ABCD中，120BAD，ABBC，M为PC上一点，且2PMMC，求三棱锥MPBD体积.提升题型训练一、单选题1．若直线a平面，直线b平面，则直线a与直线b的位置关系为（）A．异面B．相交C．平行D．平行或异面2．设l、m、n表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列四个命题：①若//ml，且m，则l；②若，//m，n，则mn；③若//l，且//m，则//lm；④若mn，m，//n，则．则正确的命题个数为()A．4B．3C．2D．13．下列结论正确的是（）A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合B．若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直C．过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线D．若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行4．设,ab为两条直线，,为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是A．若,ab与所成的角相等，则abB．若,,∥∥∥ab，则abC．若,,abab，则∥D．若,,abab，则bP5．等于90°的二面角l内有一点P，过P有PA于点A，PB于B，如果PAPBa，则P到l的距离为（）A．2aB．2aC．2aD．2a6．如图，正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P-ABCD中，4AB，点E为PB中点，若CE与PD所成的角余弦值为33，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A．3223B．162C．323D．163二、多选题7．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把ABD△和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（）A．ABACB．AD与平面BCD的法向量平行C．BDACD．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直8．已知直线a，b，c两两异面，且ac，bc，下列说法正确的是（）A．存在平面α，β，使a，b，且c，cB．存在平面α，β，使a，b，且c∥，c∥C．存在平面γ，使a∥，b∥，且cD．存在唯一的平面γ，使c，且a，b与γ所成角相等三、填空题9．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，则点B到直线1AC的距离为_________．10．如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，则平面ACD和平面BCD所成角的余弦值为：________．11．已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，2PAAB.则下列命题中正确的有_____．(填序号)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.12．与不共面的四点等距离的平面有___________个.四、解答题13．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，