专题8.6 向量法求空间角（原卷版）

8.6向量法求空间角思维导图知识点总结1.异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为e1，e2，则cosθ＝|cos〈e1，e2〉|＝|e1·e2||e1||e2|.2.直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为e，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈e，n〉|＝e·n|e||n|＝|e·n||e||n|.3.二面角(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉.如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).[常用结论]1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量u与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈u，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈u，n〉|.2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，π2.典型例题分析考向一异面直线所成的角例1(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，A1D1的中点，则直线BE与DF所成角的余弦值为()A.25B.35C.34D.45(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF→＝λAD→，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210，则λ的值为________.感悟提升用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是0，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.考向二直线与平面所成的角例2(1)(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝3.(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.感悟提升向量法求直线与平面所成角的主要方法是：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.(2)(2022·北京卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点.(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.考向三二面角3(2022·新高考Ⅱ卷改编)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点.(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值.[思路分析](1)作出过直线OE的一个平面，证明这个平面与平面PAC平行，从而证明OE∥平面PAC.(2)建系→设点写坐标→求平面的法向量→利用公式求二面角的正弦值.[规范解答](1)证明如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为AP＝PB，所以PD⊥AB.因为PO为三棱锥P－ABC的高，所以PO⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.(1分)因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD，又AB⊥AC，AB，OD，AC⊂平面ABC，所以OD∥AC.因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC.①(2分)→线面平行因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DE∥PA.因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.①(3分)→线面平行又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.→面面平行又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.(4分)→线面平行(2)解连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以OA＝OB＝PA2－PO2＝52－32＝4.②易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，所以OD＝OAsin30°＝4×12＝2，②AB＝2AD＝2OAcos30°＝2×4×32＝43.②又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan60°＝43×3＝12.②(6分)以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，→建系则A(0，0，0)，B(43，0，0)，C(0，12，0)，P(23，2，3)，E33，1，32，所以AE→＝33，1，32，AB→＝(43，0，0)，AC→＝(0，12，0).→设点写坐标设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AE→＝0，n·AC→＝0，即33x＋y＋32z＝0，12y＝0，令z＝23，则n＝(－1，0，23).③(8分)→求出平面的法向量设平面AEB的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m·AE→＝0，m·AB→＝0，即33x1＋y1＋32z1＝0，43x1＝0，令z1＝2，则m＝（0，－3，2），③(10分)→求出平面的法向量所以|cos〈n，m〉|＝|n·m||n|·|m|＝4313.→应用向量夹角公式求值设二面角C-AE-B的大小为θ，则sinθ＝1－43132＝1113.(12分)→转化为平面与平面夹角的正弦值[满分规则]❶得步骤分：①处通过证明线∥线⇒线∥面⇒面∥面⇒线∥面，注意应用相关定理的条件应完整，否则易失步骤分.❷得关键分：③处求出两个平面的法向量是解题的关键，此处运算错误会导致第(2)小题得零分.❸得计算分：②处为根据题目条件计算几何体的棱长，以便写出各顶点的坐标.4.(2022·新高考Ⅰ卷改编)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22.(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.基础题型训练一、单选题1．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点E是上底面1111DCBA的中心，则异面直线AE与1BD所成角的余弦值为（）A．24B．23C．104D．632．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（）A．1,0,0a，2,0,0B．1,3,5a，1,0,1C．0,2,1a，1,0,1D．1,1,3a，0,3,13．如图，正方体1111ABCDABCD中，P是1AD的中点，则下列说法正确的是（）A．直线PB与直线1AD垂直，直线PB∥平面11BDCB．直线PB与直线1DC平行，直线PB平面11ACDC．直线PB与直线AC异面，直线PB平面11ADCBD．直线PB与直线11BD相交，直线PB平面1ABC4．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为a，M，N分别为1AB和AC上的点，123aAMAN，则MN与平面11BBCC的位置关系是（）A．相交但不垂直B．平行C．相交且垂直D．不能确定5．若空间两直线1l与2l的方向向量分别为123,,aaaa和123,,bbbb，则两直线1l与2l垂直的充要条件为（）A．11ab，22ab，33ab（R）B．存在实数k，使得akbC．1122330abababD．abab6．如图，三棱柱111ABCABC-的各棱长均为2，侧棱1BB与底面ABC所成的角为60，11AAB为锐角，且侧面11ABBA底面ABC，给出下列四个结论：①1160AABo；②1ACBB；③直线1AC与平面11ABBA所成的角为45；④11BCAC．其中正确的结论是A．②④B．①③C．①③④D．①②③④二、多选题7．若n(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（）A．1n(2，3，1)B．2n(200，300，100)C．3n(25，35，5)D．4n(2，3，0)8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果2,1,4AB，4,2,0AD，1,2,1AP，下列结论正确的有（）A．APABB．四边形ABCD为矩形C．AP是平面ABCD的一个法向量D．AP//BD三、填空题9．设(2,2,),(6,4,5)utv分别是平面,的法向量，若，则实数t的值是________．10．已知直线l的一个方向向量为2,1,3d，平面的一个法向量为1,,0nt，且直线l与平面平行，则实数t______．11．已知正三棱柱ABCDEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MNAE，则CNCF______.12．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：（1）当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；（2）当直线AB与a成30角时，AB与b成30角；（3）直线AB与a所成角的最小值为45；（4）直线AB与a所成角的最小值为60；其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.四、解答题13．设12,nn分别是空间中两个不重合的平面,的法向量，分别根据下列条件判断平面,的位置关系.（1）122,1,2,6,3,6nn；（2）121,2,3,3,6,9nn.14．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且点P在平面ABFD上的投影点H恰好在EF上．(1)证明：PFBF．(2)求二面角EPFD的大小．15．如图所示，四棱锥SABCD中，//ABCD，ADDC，2224CDADABSD，SD平面ABCD.（1）求证:BC平面SBD;（2）若点M是线段SC的中点，求平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值.16．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2CACBCDBD，2ABAD．（1）求证：AO平面BCD；（2）求点E到平面ACD的距离；（3）求二面角ACDB的余弦值．提升题型训练一、单选题1．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为1,2,1a，平面的法向量为2,3,4n，则（）A．//lB．lC．l或//lD．l与斜交2．若平面，平面的法向量为2,1,4n，则平面的一个法向量可以是（）A．2,0,1B．2,1,4C．1,2,1D．11,,223．已知(2,0,0)A，(0,2,0)B，(0,0,2)C，则平面ABC的一个法向量可以是（）A．(1,1,1)B．(1,1,1)C．(1,1,1)D．(1,1,1)4．已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是（）A．77B．67C．1D．11115．在边长及对角线都为1的空间四边形ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则直线AE和CF夹角的余弦值为（）A．23B．23C．34D．126．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点EF、分别是棱AB、BC的中点，则点1C到平面1BEF的