专题8.10 与球有关的切、接问题（原卷版）

8.10与球有关的切、接问题知识点总结研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长2PAa，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为236224Raa，即正四面体外接球半径为64Ra.知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为,,abc，则222222222bcmacnabt，三式相加可得222abc222,2mnt而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则22224abcR，所以2228mntR.知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小圆1O的半径1AOr，111122OOAAh（1AAh也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211OAOAOO222()2hRr22()2hRr，解出R知识点五：直棱锥外接球如图，PA平面ABC，求外接球半径.图3-1C1B1AEFA1O1OO2BC图3-2C1B1AA1O1OO2BC图3-3C1B1AEFA1O1OO2BC图5ADPO1OCB解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径1ODr(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sinsinsinabcrABC)，112OOPA；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)RPAr222(2)RPAr；②2221RrOO221RrOO.知识点六：正棱锥外接球正棱锥外接球半径：222rhRh.由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径：222rhRh知识点七：垂面模型外接球如图1所示为四面体PABC，已知平面PAB平面ABC，其外接球问题的步骤如下：（1）找出PAB△和ABC△的外接圆圆心，分别记为1O和2O．（2）分别过1O和2O作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．（3）过1O作AB的垂线，垂足记为D，连接2OD，则2ODAB．（4）在四棱锥12ADOOO中，AD垂直于平面12DOOO，如图2所示，底面四边形12DOOO的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．hlrDCBA图1图2知识点八：锥体内切球方法：等体积法，即3VRS体积表面积典型例题分析考向一外接球角度1补形法——存在侧棱与底面垂直例1已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()A.7143πB.14πC.56πD.14π角度2补形法——对棱相等例2已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()A.68πB.64πC.38πD.34π感悟提升补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解；(2)直三棱锥补成三棱柱求解.角度3截面法例3(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为()A.212B.312C.24D.34感悟提升与球截面有关的解题策略(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.角度4定义法例4(2023·德州质检)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝23，CD＝2，三棱锥P－ABC的体积为163，则球O的表面积为()A.25πB.125π6C.32πD.642π3感悟提升到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.训练1(1)(2023·河南顶级名校联考)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上，该四面体各棱长都相等，如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上，如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上，该八面体各棱长都相等，四边形ABCD是正方形，如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4，S6，S8.若R1∶R2∶R3＝3∶43∶2，则()A.S8＞S4＞S6B.S4＝S8＞S6C.S4＝S6＜S8D.S4＝S6＝S8(2)(2023·天津模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则外接球的表面积为________.考向二内切球例5(2023·江西大联考)已知四面体SABC的所有棱长为23，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径比值为()A.33B.14C.13D.12感悟提升“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.训练2(2023·南京调研)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为()A.6B.12C.24D.30考向三双半径单交线公式若相互垂直的两凸多边形的外接圆半径分别为R1，R2，两外接圆公共弦长为l，则由两凸多边形顶点连接而成的几何体的外接球半径：R＝R21＋R22－l24.例6(2023·河南适应性测试)已知三棱锥P－ABC，△ABC是边长为23的等边三角形，PA＝PB＝a，且平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥P－ABC的每个顶点都在表面积为65π4的球面上，则a＝________.基础题型训练一、单选题1．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（）A．33:1B．5:1C．55:1D．6:12．三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABBC，SAABBC．过点A分别作AESB，AFSC交SBSC、于点EF、，记三棱锥SFAE的外接球表面积为1S，三棱锥SABC的外接球表面积为2S，则12SS（）A．33B．13C．22D．123．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究．其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向．已知正四棱锥PABCD的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则Rr（）A．2B．12C．22D．224．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（）A．2:1B．3:2C．7:3D．7:4二、多选题5．用一个平面去截棱长为1的正方体1111ABCDABCD，则下列结论中正确的是（）A．若该平面过点1,,ACB，则截面的周长为6B．若该平面过点1,,ACB，则截得的两个几何体的外接球体积相等C．若该平面过点1,,ADB，则截得的两个几何体的表面积均为32D．若该平面过点1,DB，则其截正方体1111ABCDABCD的外接球所得的截面面积不是定值6．下列关于三棱柱111ABCABC-的命题，正确的是（）A．任意直三棱柱111ABCABC-均有外接球B．任意直三棱柱111ABCABC-均有内切球C．若正三棱柱111ABCABC-有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为63D．若直三棱柱111ABCABC-的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形7．如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（）A．圆锥的底面半径为1B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为16:3D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半8．如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F分别是11AD、11CD的中点，G为线段BC上的动点(含端点)，则下列结论中正确的是（）A．存在点G使得直线BD⊥平面EFGB．存在点G使得直线AB与EG所成角为45°C．G为BC的中点时和G、C重合时的三棱锥1GEFD的外接球体积相等D．当G与B重合时三棱锥1GEFD的外接球体积最大9．正方体1111ABCDABCD的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段11AD上的动点（不包括两个端点），则（）A．不存在点P，使得1BC∥平面APOB．正方体1111ABCDABCD的外接球表面积为12πC．存在P点，使得POAOD．当P为线段11AD中点时，过A，P，O三点的平面截此正方体1111ABCDABCD外接球所得的截面的面积为26π910．七面体MNABCD中，ABCD为正方形且边长为2,,MBND都与平面ABCD垂直，且MBNDh，则对这个多面体描述正确的是（）A．当1h时，它有外接球，且其半径为32B．当2h时，它有外接球，且其半径为3C．当它有内切球时，2hD．当它有内切球时，4h11．已知圆锥OP的底面半径3r，侧面积为6π，内切球的球心为1O，外接球的球心为2O，则下列说法正确的是（）A．外接球2O的表面积为16πB．设内切球1O的半径为1r，外接球2O的半径为2r，则212rrC．过点P作平面截圆锥OP的截面面积的最大值为2D．设母线PB中点为M，从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为1512．如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PAD是边长为23的正三角形，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为217，E是棱CD的中点，则（）A．6ABB．23ABC．平面PAE截四棱锥PABCD的外接球所得截面的面积为6D．平面PAE截四棱锥PABCD的外接球所得截面的面积为513．如图，AB为圆柱的母线，BD为圆柱底面圆的直径且4ABBD，O为AD中点，C在底面圆周上滑动（不与B，D重合）.则下列结论中正确的为（）A．BO有可能垂直平面ACDB．三棱锥ABCD的外接球表面积为定值C．二面角ACDB正弦值的最小值为63D．过CD作三棱锥ABCD的外接球截面，截面面积的最大值为8π三、双空题14．在长方体1111ABCDABCD中，已知122AAABAD，E，F分别为1BB，11DC的中点，则长方体1111ABCDABCD的外接球表面积为________，平面11ABCD被三棱锥1CCEF外接球截得的截面圆面积为________．四、填空题15．我们知道一个多面体的外接球可以定义为：若一个多面体的所有顶点都在某个