专题8.5 空间向量及其应用（原卷版）

8.5空间向量及其应用思维导图知识点总结1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有和的量相等向量方向且模的向量相反向量方向且模的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使p＝.(3)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝.3.空间向量的数量积(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐标表示数量积a·b共线b＝λa(a≠0，λ∈R)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2l1∥l2l1⊥l2直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，l⊄αl∥αl⊥α平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βα⊥β[常用结论]1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.在利用MN→＝xAB→＋yAC→证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.典型例题分析考向一空间向量的线性运算及共线、共面定理1(1)(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有()A.AB→－CB→＝AC→B.AC′→＝AB→＋B′C′→＋CC′→C.AA′→＝CC′→D.AB→＋BB′→＋BC→＋C′C→＝AC′→(2)(多选)下列说法中正确的是()A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B.若AB→，CD→共线，则AB∥CDC.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，则P，A，B，C四点共面D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件感悟提升1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.2.(1)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.①MP→＝xMA→＋yMB→.②对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)即可.考向二空间向量的数量积及应用2如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，试采用向量法解决下列问题：(1)求EF→的模长；(2)求EF→，GH→的夹角.感悟提升由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.3.如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.4.(教材改编)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝12ON，AP＝34AN，则OP→＝________(用向量OA→，OB→，OC→表示).考向三利用空间向量证明(判断)平行与垂直5.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.感悟提升1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.6.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1基础题型训练一、单选题1．若向量2,0,a，2,2,1b，且a与b的夹角的余弦值为13，则实数等于（）A．1B．32C．1或32D．0或322．已知点(210)A，，，(221)B，，，(122)C，，，(00,)Dk，，若A，B，C，D四点共面，则（）A．0kB．1kC．2kD．1k3．已知空间向量2,2,1a，3,0,1b，则向量b在向量a上的投影向量是（）A．10105,,999B．10105,,333C．31,0,22D．31010,0,224．平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量b＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为()A．－2B．－8C．0D．－65．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP的为（）.A．22OAOBOCuuruuuruuurB．32OAABACC．23OAABACD．32OAABAC6．如图，棱长为2的正四面体ABCD的三个顶点,,ABC分别在空间直角坐标系的坐标轴,,OxOyOz上，则定点D的坐标为A．1,1,1B．2,2,2C．3,3,3D．2,2,2二、多选题7．给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若ab，则ab或abB．若向量a是向量b的相反向量，则abC．在正方体1111ABCDABCD中，11ACACD．若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp8．已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A．若ab∥，bc∥，则ac∥B．若a，b，c两两共面，则a，b，c共面C．若,,abc是空间的一组基底，则,,abbcca也是空间的一组基底D．对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得pxaybzc三、填空题9．在正方体1111ABCDABCD中，给出以下向量表达式：①111()ADAAAB；②111()BCBBDC；③1()2ADABDD；④1111()BDAADD.其中能够化简为向量1BD的是______________（填序号）.10．已知向量2,4,,1,,3xyab，若ab∥，则xy______.11．在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点4,3,2A和点2,5,4B的距离相等，则点M的坐标是______．12．已知空间三点坐标分别为(1,1,1)A，(0,3,0)B，(2,1,4)C，点(3,,1)Px在平面ABC内，则实数x的值为________．四、解答题13．已知(2,3,1),(2,5,3),(8,1,8),(4,9,6)ABCD，求证：四边形ABCD为平行四边形．14．已知空间两个动点1,1,Axxx，2,3,Bxx，求AB的最小值．15．已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．,OEkOAOFkOB，OG＝kOC，OH＝kOD．求证：四点E，F，G，H共面.16．如图，三棱柱111ABCABC-中，CABCBA，11ACBABC，1AB平面ABC，2AC，190CAC，D，E分别是AC，11BC的中点.（Ⅰ）证明：AC平面11ABC；（Ⅱ）求DE与平面1CBB夹角的正弦值.提升题型训练一、单选题1．如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc，点M是OA的中点，点N在BC上，且2CNNB，设MNxaybzc，则x，y，z的值为（）A．112233，，B．121233，，C．121233，，D．112233，，2．若,,abc构成空间的一个基底，则一定可以与向量ab，ab构成空间的另一个基底的是（）A．aB．bC．cD．以上都不行3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B．15C．35D．754．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，PAAB，则下列数量积最大的是（）A．BDPCB．PBPCC．BCPCD．PAPC5．已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且3148OPOAOBtOC，若P、A、B、C四点共面，则实数t的值是（）A．34B．18C．18D．346．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）A．ABACADABACADB．2222ABACADABACADC．0ABACADBCD．0ABCDACBDADBC二、多选题7．已知1111ABCDABCD为正方体，则下列说法正确的有（）A．221111111()3()AAADABAB；B．1111·0ACABAA；C．1ABuuur与1AD的夹角为60；D．在面对角线中与直线1AD所成的角为60的有8条8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．若非零向量a，b，c满足//ab，//cb，则有//acB．若OA，OB，OC是空间的一组基底，且2CDOAOBOD，则,,,ABCD四点共面C．任意向量a，b，c满足()()abcabcD．已知向量(1,1,)ax，(3,,8)bx，若13x，则,ab为锐角三、填空题9．,,,ABCD是空间四点，有以下条件：①11ODOAOBOC23；②111234ODOAOBOC；③111ODOAOBOC235；④111ODOAOB236OC，能使,,,ABCD四点一定共面的条件是______10．已知向量1e，2e，3e是三个不共面的非零向量，且1232aeee，12342beee，123115ceee，若向量a，b，c共面，则______．11．已知在四面体ABCD中，236ABACAD，3BACCADDAB，则BCBD______．12．如图，在平行六面体1111ABCDABCD中，AC与BD交于O点，1A在底面的射影为O点，1AA与底面所成的角为60，1AB，113coscos4AADAAB，则对角线1AC的长为___________________．四、解答题13．空间向量a，b，c不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？14．判断下列点P是否在直线l上：(1)点(3,-3,1)P，直线l经过(1,1,1)A和(1,1,1)B两点；(