专题8.8 几何法求线面角、二面角及距离（原卷版）

8.8几何法求线面角、二面角及距离知识点总结利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几何法运算简单、不易出错.知识点1：线与线的夹角（1）位置关系的分类：点一个平面内，没有公共异面直线：不同在任何相交直线平行直线共面直线（2）异面直线所成的角①定义：设ab，是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aabb∥，∥，把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．②范围：(0]2，③求法：平移法：将异面直线ab，平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．知识点2：线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围：[0]2，③求法：常规法：过平面外一点B做BB平面，交平面于点'B；连接AB，则BAB即为直线AB与平面的夹角．接下来在△RtABB中解三角形．即sin斜线长BBhBABAB（其中h即点B到面的距离，可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度）；知识点3：二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角l或者是二面角ACDB）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0]，．（3）二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角l的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面或面内找一合适的点A，作AO于O，过A作ABc于B，则BO为斜线AB在面内的射影，ABO为二面角c的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A，作AO于O；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABc于B，连接BO；③计算：ABO为二面角c的平面角，在RtABO△中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos=ABCABCSSSS射斜，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．baAOBbABCB'C'A'法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．例如：过二面角内一点A作AB于B，作AC于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．知识点4：空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．典型例题分析考向一几何法求线面角例1(2023·杭州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是()A.35B.22C.32D.12感悟提升求线面角的三个步骤：一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.训练1(2023·湖州模拟)如图，已知正四棱锥P－ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为()A.143B.73C.156D.216考向二几何法求二面角例2如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝3，则二面角S－BC－A的大小为()A.30°B.45°C.60°D.75°感悟提升作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.训练2我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为()A.1B.2C.22D.2考向三几何法求距离角度1点线距例3如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为()A.23B.25C.2D.4角度2点面距例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A.1B.23C.43D.2感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.基础题型训练一、单选题1．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA，1BB，1CC，1DD均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB与1CD所成角的余弦值为（）A．45B．35C．45D．342．一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为60，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（）A．3:2B．3:1C．2:3D．1:33．在正方体1111ABCDABCD中，O是11AC的中点，则异面直线AO与1BC的夹角为（）A．30B．45C．60D．904．如图，在长方体1111ABCDABCD中，,ABBCCC121.则直线1AC与平面11BBCC所成角的余弦值是（）A．32B．12C．33D．135．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）A．33B．33C．63D．636．如图，在三棱柱111ABCABC-中，底面ABC是正三角形，侧棱与底面ABC垂直，且14,23,,ABAAEF分别是11,ACBC的中点，则异面直线EF与1CC所成的角的余弦值为（）A．677B．12C．377D．327．在直三棱柱111ABCABC-中，ABBC，1ABBCBB，过点A作直线l与11AC和1BC所成的角均为，则的最小值为（）A．60B．45C．30D．15二、填空题8．已知正三棱柱111ABCABC-，O为ABC的外心，则异面直线1AC与OB所成角的大小为________．9．如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90ACB，且2ACBCPA，M是PB的中点，则AM与平面PBC所成角的正弦值是________．10．长度为15cm的线段两个端点到平面的距离分别为3cm和12cm，且这两个端点都在平面的同一侧，则这条线段所在直线与平面所成角的正弦值为______．三、解答题11．如图，在三棱柱111ABCABC-中，面11ABBA为正方形，面11AACC为菱形，160CAA，侧面11AACC面11ABBA.(1)求证：1AC面11CAB；(2)求二面角1CBBA的余弦值.12．如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且2ACBC，点D是PA的中点，PO与BD交于点E，点F是PC上的一个动点.(1)求证：BCPA；(2)求二面角BPCO平面角的余弦值.13．如图，正三棱柱111ABCABC-中，,EF分别是棱11,AABB上的点，1113AEBFAA.(1)证明：平面CEF平面11ACCA；(2)若2ACAE，求二面角1ECFC的余弦值.14．如图所示，平面ABFE平面ABCD，四边形AEFB为矩形，//BCAD，ABAD，24AEADAB，2BC．(1)求多面体ABCDEF的体积；(2)求二面角FCDA的余弦值．15．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：//MN平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面MNQ∥平面PAD．(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．16．如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AC与BD交于点O，PA面ABCD，且2PA.(1)求证BD平面PAC.；(2)求PD与平面PAC所成角的大小．提升题型训练一、多选题1．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB，2PA，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．22ACD．PAC△的面积为32．已知点P是空间中的一个动点，正方体棱长为2，下列结论正确的是（）A．若动点P在棱AB上，则直线1BC与1DP始终保持垂直B．若动点P在棱AB上，则三棱锥11CDPC的体积是定值C．若动点P在对角线AC上，当点P为AC中点时，直线1DP与平面ABCD所成的角最小D．若动点P在四面体11ACBD内部时，点P与该四面体四个面的距离之和为定值3．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，底面边长2AB，侧棱长13AA，P为底面ABCD内的动点，且1AP与1BB所成角为30，则下列命题正确的是（）A．动点P的轨迹长度为π2B．当1BP//平面11ACD时，1BP与平面11ACD的距离为73C．直线1CP与底面ABCD所成角的最大值为π3D．二面角11PACD的范围是ππ[]124，4．两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面所成角；在正方体中，不在同一表面上的两条平行的棱所确定的平面称为该正方体的对角面.则在某正方体中，两个不重合的对角面所成角的大小可能为（）A．π6B．π4C．π3D．π25．如图，在正方体1111ABCDABCD中，,,EFG分别为111111,,CDCBAB的中点，则以下结论正确的是（）A．1AECGB．平面GFC平面ABCDACC．DE//平面GFCD．异面直线1AD与FC所成角的余弦值是31010二、单选题6．如图，在圆台OO1中，13OO，点C是底面圆周上异于A、B的一点，2AC，点D是BC的中点，l为平面1OAC与平面1OOD的交线，则交线l与平面1OBC所成角的大小为（）A．π2B．π3C．π6D．π47．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10mABBCAD，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A．102mB．112mC．117mD．125m9．如图，在正方体1111ABCDABCD中，E，F，Q，H分别为所在棱的中点，则直线HC与平面EFQ所成角的正弦值为（）A．23B．26C．16D．21210．在正四棱锥PABCD中，PD的中点为E，给出以下三个结论：①//PB平面ACE；②侧棱与底面所成角的大小为π6时，则侧棱与底面边长之比为63；③若PAAB