专题8.9 几何体的截面（交线）及动态问题（原卷版）

8.9几何体的截面（交线）及动态问题思维导图知识点总结立体几何中截面、交线问题综合性较强，解决此类问题要应用三个基本事实及其推论、垂直、平行的判定与性质定理等知识.立体几何中的动态问题主要是指空间动点轨迹的判断、求轨迹长度、最值与范围问题等.1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。操作技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；操作技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；操作技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；操作技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。典型例题分析考向一截面问题例1(2023·福州质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱AA1，BC的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形周长为()A.6B.102C.13＋25D.213＋95＋253感悟提升作截面应遵循的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.训练1(2023·辽宁名校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为棱BB1的中点，则平面AED1截正方体ABCD－A1B1C1D1的截面面积为()A.52B.72C.4D.92考向二交线问题例2(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为__________.感悟提升作交线的方法有如下两种：(1)利用基本事实3作交线；(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.训练2(2023·南通模拟)已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD︵的中点，则平面PAB与球O的交线长为________.考向三动态问题角度1动态位置关系的判断例3(多选)如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则下列说法中正确的是()A.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OCB.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BDC.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACDD.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD所以在△AOC中，OC为斜边，这与OC＝OA相矛盾，故D不正确.感悟提升解决空间位置关系的动点问题(1)应用“位置关系定理”转化.(2)建立“坐标系”计算.角度2动点的轨迹(长度)例4(2023·济南模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为23，E，F为体对角线BD1的两个三等分点，动点P在△ACB1内，且△PEF的面积S△PEF＝2，则点P的轨迹的长度为________.感悟提升解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定.(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算.(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.角度3最值(范围)问题例5(2023·石家庄质检)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝6，动点M在“堑堵”的侧面BCC1B1上运动，且AM＝2，则∠MAB的最大值为()A.π4B.5π12C.π2D.π3感悟提升在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解.(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.训练3(多选)(2023·沈阳郊联体一模)已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP垂直于MC，则下列结论正确的是()A.点P的轨迹中包含AA1的中点B.点P在侧面AA1D1D内的轨迹的长为5a4C.MP长度的最大值为21a4D.直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为55基础题型训练一、单选题1．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点2．下面四个命题中，其中正确的命题是（）1p：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2p：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直3p：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那该直线与交线平行4p：一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行A．1p与2pB．2p与3pC．3p与4pD．1p与3p3．如图，已知正方体1111ABCDABCD，则直线EF是平面1ACD与()A．平面1BDB的交线B．平面1BDC的交线C．平面1ACB的交线D．平面1ACC的交线4．如图，在圆台OO1中，13OO，点C是底面圆周上异于A、B的一点，2AC，点D是BC的中点，l为平面1OAC与平面1OOD的交线，则交线l与平面1OBC所成角的大小为（）A．π2B．π3C．π6D．π45．M、N两个动点从棱长为1的正方体1111ABCDABCD的顶点A出发沿棱向前运动.动点M运动的路线是111AAAD，运动规则如下：第2i段与第i段（其中i是正整数）所在直线一定是异面直线.动点N运动的路线是1ABBB，它和点M具有相同的运动规则.那么动点M运动完2022段、动点N运动完2024段后各自停止在正方体的某个顶点处，此时动点M、N的距离是（）A．0B．1C．2D．3二、多选题6．下列命题中，正确的是（）A．夹在两个平行平面间的平行线段相等B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直C．如果直线a∥平面，P，那么过点P且平行于直线a的直线有无数条，且一定在内D．已知m，n为异面直线，m平面，n平面，若直线l满足lm，ln，l，l，则与相交，且交线平行于l7．已知点P是棱长为2的正方体1111ABCDABCD的底面ABCD上一个动点（含边界），若F是11AB的中点，且满足//PF平面11BCD，则（）A．FP所在的平面与正方体表面的交线为五边形B．FP所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形C．FP长度的最大值是22D．FP长度的最小值是58．已知点P是空间中的一个动点，正方体棱长为2，下列结论正确的是（）A．若动点P在棱AB上，则直线1BC与1DP始终保持垂直B．若动点P在棱AB上，则三棱锥11CDPC的体积是定值C．若动点P在对角线AC上，当点P为AC中点时，直线1DP与平面ABCD所成的角最小D．若动点P在四面体11ACBD内部时，点P与该四面体四个面的距离之和为定值9．如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，则下列结论中正确的是（）A．若E是直线AC上的动点，则1DE平面11ABCB．若E是直线1BD上的动点，F是直线BD上的动点，则EFACC．若E是ABC内（包括边界）的动点，则直线1DE与平面ABC所成角的正切值的取值范围是2,12D．若E是平面11BAC内的动点，则三棱锥1DAEC的体积为定值16三、解答题10．如图所示，正方体1111ABCDABCD的棱长为a．(1)过正方体1111ABCDABCD的顶点A，B，1C截下一个三棱锥111BABC，求正方体剩余部分的体积；(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过1D，M，N三点的平面与正方体1111ABCDABCD表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；(3)设正方体1111ABCDABCD外接球的球心为O，求三棱锥11OABC的体积．11．如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，90ABCBAD，且22PAPBABADBC，设平面PAB与平面PCD的交线为l．(1)作出交线l（写出作图步骤），并证明l平面PAD；(2)记l与平面ABCD的交点为Q，点S在交线l上，且(01)PSPQ，当二面角SACB的余弦值为64，求的值．12．如图所示，正方体1111ABCDABCD的棱长为a.(1)过正方体1111ABCDABCD的顶点1A，B，1C截下一个三棱锥111BABC，求正方体剩余部分的体积；(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过1D，M，N三点的平面与正方体1111ABCDABCD表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；13．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，12,3,90ACCBAAACB，P为BC的中点，点,QR分别在棱11,AABB上，112,2AQAQBRRB，平面PQR与平面11ACR的交线为l．以1C为原点，11111,,CACBCC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求：（1）点1C到平面PQR的距离1d；（2）交线l的单位方向向量u；（3）点1C到交线为l的距离2d．14．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PC平面ABC，3AC，22PCBC，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为BD，D在圆O上.(1)在图中作出交线BD（说明画法，不必证明），并求三棱锥DACE的体积；(2)若点M满足12BMBDBPR，且CM与平面PBD所成角的正弦值为105，求的值.15．（1）如图，在正方体1111ABCDABCD中，试画出平面11ABD与平面11ACCA的交线.（2）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD∥，ABCD，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBC和平面SAD的交线.16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，P、Q分别为棱11BC和11CD中点.(1)请在图中作出过A、P、Q三点的正方体1111ABCDABCD的截面（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求交线所围成的多边形周长；(2)求（1）中的截面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.提升题型训练一、单选题1．已知m，n为异面直线，//m平面，//n平面，l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．与m，n中一条相交2．已知异面直线a、b分别在平面、内，c，那么c与a、b的关系为（）A．与a、b都相交B．至少与a、b之一相交C．至多与a、b之一相交D．只能与a、b之一相交3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是（）A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条垂直C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行4．如图所示，P是正