专题9.1 直线与圆（原卷版）

9.1直线与圆思维导图知识点总结典型例题分析考向一倾斜角与斜率、直线的方程1.把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是()A.y=-√3xB.y=√3xC.x-√3y+2=0D.x+√3y-2=02.(2020上海静安期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足()A.-π4≤𝛼≤π4B.π4≤𝛼π2或π2𝛼≤3π4C.π4≤𝛼π2D.π2𝛼≤3π43.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y等于()A.-1B.-3C.0D.24.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1,15B.-∞,12∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪15,+∞D.(-∞,-1)∪12,+∞考向二圆的方程1.(2021北京海淀二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是()A.3B.2C.-1D.-32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.√3D.23.(2021江苏盐城滨海中学一模)已知a,b都是实数,那么“a2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为()A.12B.1C.2D.4考向三直线与圆的位置关系1.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.42.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m的值是()A.21B.19C.9D.-113.(2021河南郑州二模)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧𝐴𝐵⏜的长为()A.π2B.πC.2πD.3π基础题型训练一、单选题1．已知圆221:23460Cxyxy和圆222:60Cxyy，则两圆的位置关系为（）A．内含B．内切C．相交D．外切2．已知点O是边长为6的正方形ABCD内的一点，且15OBCOCB，则OA（）A．5B．6C．7D．83．从点2,3A射出的光线沿与向量1,1a平行的直线射到y轴上，则反射光线所在直线方程为（）A．210xyB．240xyC．10xyD．270xy4．已知射线1PT、2PT与22:1Oxye相切，若222:30CxyRR存在两个点P使得1260TPT，则R的取值范围是（）A．0,4B．1,5C．2,6D．以上都不对5．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，3），则|MQ|的最小值为（）A．3B．2C．332D．4336．已知半径为1的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线20mxymR的距离的最大值为（）A．1B．2C．3D．4二、多选题7．下列说法正确的是（）A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B．点(0,2)关于直线1yx的对称点为(1,1)C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xyD．直线20xy与两坐标轴围成的三角形的面积是28．下列命题正确的是（）A．当3m时，直线1:10lxmy与直线2:(2)330lmxy平行B．当12m时，直线1:10lxmy与直线2:(2)330lmxy垂直C．当4m时，曲线22120C:xyx与曲线222480C:xyxym外切D．当4m时，直线1:10lxmy与直线2:(2)330lmxy的交点坐标是(3,1)三、填空题9．两平行线1:210lxy与2:2430lxy之间的距离为.10．直线3120xy被圆22100xy所截的弦长为.11．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间的距离的最大值为.12．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)kkk的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知P、Q分别是圆22:(-4)+=8Cxy，圆22:+(-4)=1Dxy上的动点，O是坐标原点，则2||+||2PQPO的最小值是．四、解答题13．画出方程211xy表示的曲线．14．已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)边AB所在直线的方程；(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．15．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程244xy，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，0,At，2,0B，0,2C，2,0D为平面图形W上不同的四点．(1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程；(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；(3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程．16．过点(2,1)P作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.（1）当||||OAOB取最小值时，求出最小值及直线l的方程；（2）当||||PAPB取最小值时，求出最小值及直线l的方程.高考真题分考点汇编直线的方程1.(2014四川文,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[√5,2√5]B.[√10,2√5]C.[√10,4√5]D.[2√5,4√5]2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()A.2B.1C.83D.433.(2012浙江理,3,5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.圆的方程1.(2015课标Ⅱ理,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2√6B.8C.4√6D.102.(2015课标Ⅱ文,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.√213C.2√53D.433.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D由题意得圆的半径为√2,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.4.(2022全国乙,理14,文15,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.5.(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为.6.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C的方程为.7.(2015课标Ⅰ理,14,5分)一个圆经过椭圆𝑥216+𝑦24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.8.(2014陕西理,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.考点三直线与圆的位置关系1.(2022北京,3,4分)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A.12B.−12C.1D.-12.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2D.当∠PBA最大时,|PB|=3√23.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=04.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-345.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.4√2C.6D.2√106.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.[−12,12]C.[-√2,√2]D.[−√22,√22]7.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-88.(2014安徽文,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.(0,π6]B.(0,π3]C.[0,π6]D.[0,π3]9.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离10.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.411.(2013重庆理,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5√2-4B.√17-1C.6-2√2D.√1712.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.√3D.213.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.√2D.2√214.(2016课标Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.答案4π15.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.16.(2016课标Ⅲ理,16,5分)已知直线l:m