专题9.2 椭圆方程与性质（原卷版）

9.2椭圆方程与性质思维导图知识点总结内容提要1.椭圆定义：设𝐹1，𝐹2是平面上的两个定点，若平面内的点𝑃满足|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=______(2𝑎|𝐹1𝐹2|)，则点𝑃的轨迹是以𝐹1，𝐹2为焦点的椭圆.2.椭圆的简单几何性质：标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)焦点坐标𝐹1(−𝑐，0)，𝐹2(𝑐，0)焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐，且𝑐2=𝑎2−𝑏2图形范围−𝑎≤𝑥≤𝑎，−𝑏≤𝑦≤𝑏对称性关于𝑥轴、𝑦轴、原点对称顶点坐标左、右顶点：𝐴1(−𝑎，0)，𝐴2(𝑎，0)标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)上、下顶点：𝐵1(0，𝑏)，𝐵2(0，−𝑏)长轴长|𝐴1𝐴2|=2𝑎，其中𝑎叫做长半轴长短轴长离心率3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为_____.典型例题分析考向一椭圆定义与应用[例1]椭圆𝑥29+𝑦22=1的焦点为𝐹1，𝐹2，点𝑃在椭圆上，若|𝑃𝐹1|=4，则|𝑃𝐹2|=_Ｆ1𝑃𝐹2的大小为___________；△𝑃𝐹1𝐹2的周长为；若延长𝑃𝑂交椭圆于𝑄，则|𝑃𝐹1|+|𝐹1𝑄|=___________[变式]已知椭圆𝐶：𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，𝐴(1，2)，𝑃为椭圆𝐶上的动点，则|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹1|的最小值为___________考向二椭圆的标准方程【例2】以11,0F，21,0F为焦点，且经过点31,2的椭圆的标准方程为（）A．22132xyB．22143xyC．22134xyD．2214xy【变式】已知(1,0)F，B是圆C：22116xy上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为.考向三椭圆的离心率问题【例3】如图，A，B分别是椭圆2222:10xyCabab的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（）A．33B．12C．32D．34【答案】C【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设1122,,PxyQxy、，易知,0,0AaBa、，则22222222222221baxxyyaba，222222222222001AQBQyyybkkexaxaxaa，又212121210010044AQBPBQBPyykkxaxayykkxaxa，所以2344112APBPAPBQkkkkee.故选：C【变式1】若1F、2 F为椭圆C：22221xyab的左、右焦点，焦距为4，点P为C上一点，若对任意的1,4，均存在四个不同的点P满足12PFPF，则C的离心率e的取值范围为.【答案】22,32【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.【详解】由题可得，12(2,0),(2,0)FF，设O为坐标原点，则21OFFOuuuruuur,所以21211221()()()()PFPFPOOFPOOFPOOFPOPOOFuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur24POuuur,即24PO，因为1,4，所以25,8POuuur，若存在四个不同的点P满足25,8POuuur，又222bPOa，所以2258ba，即22458aa，所以289a，所以22444,98ea，所以22,32e，故答案为:22,32.【变式2】已知椭圆C：222210xyabab的上顶点为B，两个焦点为1F，2F，线段2BF的垂直平分线过点1F，则椭圆的离心率为．【答案】12/0.5【分析】求出线段2BF的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得224ac，再结合222abc可求得离心率.【详解】如图，设2BF的垂直平分线与2BF交于点H，由题，1,0Fc，2,0Fc，0,Bb，则,22cbH，10232FHbbkccc，200BFbbkcc，121FHBFkk，13bbcc，化简得，223bc，由222abc，解得224ac，22214cea，即12e.故答案为：12.考向四椭圆的焦点三角形问题【例4】设𝐹1，𝐹2为椭圆𝑥29+𝑦24=1的两个焦点，𝑃为椭圆上一点，𝛥𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形，且|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|，则|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|的值为___________【变式】已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，𝑃为椭圆𝐶上一点，𝑂为原点，若(𝑂𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗1+𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)=0，且|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2|，则椭圆𝐶的离心率为___________考向五椭圆有关的最值与范围问题【例5】已知椭圆222210xyabab的离心率为32，上顶点为A，左顶点为B，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，且1FAB的面积为232，点P为椭圆上的任意一点，则1211PFPF的取值范围为．【变式1】已知椭圆C：222210xyabab的长轴为双曲线22184xy的实轴，且椭圆C过点2,1P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点A、B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为1k，2k，且1212kk，求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标.【变式2】如图，点A是椭圆2222:10xyCabab的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为32的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为30,2，且满足BPx∥轴，274ABAP．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的左顶点为D，左焦点为F，点M为椭圆上任意一点，求DMMF的取值范围．基础题型训练一、单选题1．过椭圆22221(0)xyabab的左顶点A作圆222xyc(2c是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M，N，若∠MAN=60°，则该椭圆的离心率为（）A．12B．33C．22D．322．方程22142xymm表示椭圆的充要条件是（）A．(4,1)mB．(4,1)(1,2)mC．4,2mD．(1,)3．已知椭圆C：2216439xy的左、右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆C上，若16PF，则12PFF的余弦值为（）A．310B．710C．25D．354．过椭圆22221xyab(0)ab的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1245FPF，则椭圆的离心率为()A．22B．21C．212D．25．若方程22191xykk表示椭圆C，则下面结论正确的是（）A．1,9kB．椭圆C的焦距为22C．若椭圆C的焦点在x轴上，则1,5kD．若椭圆C的焦点在x轴上，则5,9k6．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左､右焦点分别为1F，2F，M为E上一点.若126MFF，21212FFFMFF，则E的离心率为（）A．212B．312C．21D．31二、多选题7．已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆C的标准方程可能为（）A．22149xyB．22195xyC．22194xyD．22159xy8．设P是椭圆22153xy上的动点，则（）A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为25B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为22C．点P到左焦点距离的最大值为52D．点P到左焦点距离的最大值为522三、填空题9．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在x轴上，且3ac，则椭圆的标准方程是．10．椭圆22221xyab（a0b）的左、右焦点分别是12FF，，过2F作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若1MF垂直于2MF，则椭圆的离心率为．11．椭圆2214xyk的离心率为23，则实数k．12．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C交于A，B两点，满足12AFAF且212AFAF，则21tanBFF．四、解答题13．已知椭圆22221xyab(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围．14．椭圆2222:1(0,0)xyCabab焦距为4，经过点2,3P，1F，2F分别为它的左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求12PFF外接圆的标准方程．15．已知动点P与平面上两定点1,0A，10B,连线的斜率的积为定值2．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：1yx与曲线C交于M，N两点，求MN．16．已知椭圆2222:10xyabab的右焦点为222,0F，且椭圆上的一点M到其两焦点12,FF的距离之和为43.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线:,lyxmmR与椭圆交于不同两点,AB，且32AB.若点0,2Px满足0PAPBAB，求0x.提升题型训练一、单选题1．若方程22142xymm表示椭圆，则实数m的取值范围为（）A．(2,4)B．(4,2)C．(4,1)(1,2)D．(,4)(2,)2．圆C与圆2211xy相外切，与圆2219xy相内切，则圆C的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上3．已知椭圆22:1259xyC，直线:(2420)mxmylmmR，则直线l与椭圆C的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．椭圆3cos(4sinxy为参数)的离心率是()A．74B．73C．72D．755．函数3xya（0a，且1a）的图象恒过定点A，若点A在椭圆221xymn（0m，0n）上，则mn的最小值为（）A．12B．14C．16D．186．记椭圆222210xyabab的左焦点和右焦点分别为12,FF，右顶点为A，过1F且倾斜角为30的直线l上有一点B，且B在x轴上的投影为2F.连接AB，AB的方向向量3,3v，则椭圆的离心率为（）A．12B．32C．35D．63二、多选题7．已知M是椭圆C：22184xy上一点，1F，2F是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率22eC．1242MFMFD．12MFF△的面积的最大值是48．一般地，我们把离心率为512的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（）A．若2c，且点A在以1F，2F为焦点的“黄金椭圆”上，则12AFF△的周长为625B．若22110xyk是“黄金椭圆”，则555kC．若“黄金椭圆”的左焦点是1F，右顶点和上顶点分别是C，D，则1π2FDCD．设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为,AB，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，则12152kk三、填空题9．若