10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10.1平面向量的线性运算及基本定理（精讲）一．向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2.零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量．4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线．5.相等向量：长度相等且方向相同的向量．6.相反向量：长度相等且方向相反的向量．二．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λb三．向量共线定理向量ar(ar≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λar①向量共线定理中规定向量ar≠0，因为如果ar＝0，当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数；当b≠0时，b＝λ0，λ值不存在．②当向量ar，b同向时，λ0，当向量ar，b反向时，λ0.四．平面向量基本定理条件1eur，2eur是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量ar，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ11eur＋λ22eur基底若1eur，2eur不共线，把{1eur，2eur}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底五．平面向量的坐标运算1.设ar＝(x1，y1)，br＝(x2，y2)则ar＋br＝(x1＋x2，y1＋y2)ar－br＝(x1－x2，y1－y2)λar＝(λx1，λy1)|ar|＝x21＋y21.2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB―→＝(x2－x1，y2－y1)222121AB(xx)(yy)3．平面向量共线的坐标表示（1）设ar＝(x1，y1)，br＝(x2，y2)，其中br≠0，则ar∥br⇔x1y2－x2y1＝0（2）已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为x1＋x22，y1＋y22（3）已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点一平面向量的概念辨析【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】对于①，向量AB与向量BA，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a与b平行时，a或b为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB与CD是共线向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．【例1-2】（2023·全国·高三对口高考）下列各命题中正确的命题是．①所有的单位向量都相等；②向量的模是一个正实数；③ABC中，必有0ABBCCA：④若,ab均为非零向量，则||||ab与||ab一定相等；⑤若a与b同向，且||||ab，则ab；⑥由于0的方向不确定，故0不与任何非零向量平行；⑦若//ab，则存在唯一实数，使ba成立；⑧设21,ee是平面内两个已知向量，则对平面内的任意向量a，存在唯一实数对x，y，使得12axeye，成资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】立；⑨ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，则0ADBECF；【答案】③⑨【解析】①单位向量都是模长为1的向量，但方向不一定相同，错；②零向量的模为0，错③ABC中0ABBCCAACAC，对；④若,ab均为非零向量，仅当,ab同向共线时||||||abab，错；⑤若a与b同向，且||||ab，由于向量没有大小之分，不存在ab，错；⑥由于0的方向不确定，故0与任何非零向量平行，错；⑦若//ab，且a为非零向量时存在唯一实数，使ba成立，错；⑧设21,ee是平面内两个已知向量，仅当21,ee为不共线向量时，对平面内的任意向量a，存在唯一实数对x，y，使得12axeye，成立，错；⑨ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，则EACFDB1111()()()()02222ABACBABCCACBABACBABCCACB，对；故答案为：③⑨【一隅三反】1．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使0abab成立的条件是a与b反向共线D．若ab，bc，则ac【答案】A【解析】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C选项，因为aa与bb都是单位向量，所以只有当aa与bb是相反向量，即a与b是反向共线时0abab才资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】成立，故C正确；D选项，由向量相等的定义知D正确.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量,ab，必有||||||ababrrrrD．若,ab满足||||ab且a与b同向，则ab【答案】C【解析】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若,ab同向共线，||||||ababrrrr，若,ab反向共线，||||||ababrrrr，若,ab不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知||||||ababrrrr.综上可知对于任意向量,ab，必有||||||ababrrrr，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）①有向线段三要素是始点、方向、长度；②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④在平行四边形ABCD中，ABDC．A．①B．①②C．①②③D．①②③④【答案】D【解析】由有向线段、向量、同一向量的定义可以判断①②③正确，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由平行四边形的性质可知,//ABDCABDC，显然④正确，故选：D考点二平面向量的线性运算及基本定理【例2-1】（2023秋·广东·高三统考阶段练习）已知ABC的重心为O，则向量BO（）A．2133ABACB．2133ABACuuuruuurC．2133ABACD．2133ABAC【答案】B【解析】设,,EFD分别是,,ACABBC的中点，由于O是三角形ABC的重心，所以222121333233BOBEAEABACABABAC.故选：B.【例2-2】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在ABC中，点D在边BC所在直线上，2BCCD，若ADxAByAC，则（）A．12x，12yB．12x，32yC．12x，12yD．32x，12y【答案】B【解析】2BCCD，32BDBC，32ADABBDABBCAB313()222ACABABAC，又ADxAByAC，所以13,22xy．故选：B．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在ABC中，E是AB的中点，12,,3BDDCFCAFEF与AD交于点M，则AM（）A．33147ABACB．331414ABACC．2839ABACD．3477ABAC【答案】A【解析】在ABC中，设,AMADR，由2BDDC，可得1233ADABAC，故1233AMADABAC．又E是AB的中点，13FCAF，所以42,3ABAEACAF，所以2839AMADAEAF．由点,,EMF三点共线，可得28139，解得914，故33147AMABAC．故选：A．2．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，23BEBC，34DFDE，若AFABAD，则（）A．32B．112C．112D．0【答案】D【解析】在平行四边形ABCD中，23BEBC，34DFDE，所以3344AFADDFADDEADDCCE资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】31334344ADABADABAD，若AFABAD，则34，则0．故选：D．3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，且13BEBABC，AExBAyBC，则xy.【答案】59【解析】依题意12ADABBDABBC，又点E在AD上，且13BEBABC，所以11233BEBABCBABD，所以1213，解得13，即1233BEBABD，所以212213333332BAABABDBABBDBACEABEB，又AExBAyBC，所以23x，13y，所以12153339xy.故答案为：59考点三平面向量的共线定理【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a，b是不共线向量，且5ABab，28BCab，3()CDab，则（）A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线【答案】A【解析】因为5ABab，28BCab，3()CDab，所以28335BDBCCDabababAB，所以A，B，D三点共线，故A正确，因为a，b是不共线向量，若存在实数使得ABBC，则528abab，所以1258，显然方程无解，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以不存在实数使得ABBC，所以A，B，C三点不共线，故B错误；同理B，C，D三点也不共线，故C错误；又52813ACabababABBC，所以不存在实数t使得ACtCD，故A，C，D三点不共线，故D错误；故选：A【例3-2】（2022秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）已知向量12ee，为平面向量的一组基底，且1212ABemeADnee，，若ABD，，三点共线，则实数mn，应该满足的条件为（）A．1mnB．1mnC．1mnD．1mn【答案】D【解析】若ABD，，三点共线，//ABAD=ABAD又1212ABemeADnee，1212emenee又12ee，为平面向量的一组基底1nm1mn故选：D.【例3-3】（2022秋·新疆巴音郭楞·高三八一中学校考阶段练习）已知向量3,1m，0,1n，,3kt，若2mnurr与k共线，则t的值为（）A．2B．1C．0D．1【答案】D【解析】由向量3,1m，0,1n，,3kt，可得23,3mn，因为2mnurr与k共线，可得333t，解得1t.故选：D.【一隅三反】1．（20