10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10.1平面向量的线性运算及基本定理（精练）1．（2023秋·广东深圳·）已知平面直角坐标系内ABC三个顶点的坐标分别为1,1A，2,3B，6,5C，则1122ABAC（）A．3,2B．1,3C．3,5D．2,4【答案】B【解析】因为1,1A，2,3B，6,5C，所以11113,25,42,61,32222ABAC，故选：B.2．（2023秋·江西·高三统考开学考试）已知4,5a，,1bm，2,3c，若abc，则m（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】由题意得，4,4abm，由abc，得24340m，解得2m.故选：B.3．（2024秋·北京房山·高三统考开学考试）已知向量a，b满足2,1ar，3,2ab，则ab（）A．1B．1C．9D．9【答案】D【解析】设,bxy，则由题意可得2,13,2abxy，解得5,1b，所以25119ab，故选：D资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若向量7,1AM，1,3MN，则AMAN（）A．4B．38C．40D．46【答案】D【解析】因为7,11,36,4ANAMMN，所以761442446AMAN．故选：D5．（2023·青海西宁）已知向量1,1m，2,2n，若2mnmn，则的值为（）A．83B．113C．1D．2【答案】A【解析】因为向量1,1m，2,2n，所以3424,mn，1,1mn，又2mnmn，所以23440mnmn，解得83.故选：A.6．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）己知ABC的外接圆圆心为O，且AOABAC，则BA在BC上的投影向量为（）A．12BCB．12BCC．14BCD．14BC【答案】A【解析】连接OB、OC，因为AOABAC，则ABAOACCO，所以，//ABOC且ABOC，又因为OBOC，则四边形ABOC为菱形，设AOBCD，则D为BC的中点，且AOBC，因此，BA在BC上的投影向量为12BDBC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A.7．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）在ABC中，点M在线段BC上，23ANAMABAC，则（）A．14B．13C．23D．1【答案】C【解析】因为点M在线段BC上，所以存在实数t，使得BMtBC，所以AMABtACAB，即(1)AMtABtAC，所以22(1)2333ttANAMABAC，又ANABAC，所以2(1)323tt，所以23.故选：C8．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）如图，在ABC中，π2,,33BACADABP为CD上一点，且满足12APmACAB，若||2,||5ACAB，则AP的值为（）A．314B．132C．312D．134【答案】C【解析】在ABC中，由π,23BACADDB，P为CD上一点，且满足12APmACAB，则34APmACAD，又由PCD､､三点共线，则314m，即14m，因为||2,||5ACAB，则222111111131||425251644164244APACACABAB，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则AP的值为312.故选：C.9．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，在ABC中，2ANNC，P是BN上一点，若12APtABAC，则实数t的值为（）A．16B．13C．14D．12【答案】C【解析】由题意，P是BN上一点，设BPBN，则1APABBPABBNABANABABAN，又2ANNC，所以23ANAC，所以22113ABACAPtABAC，所以12132t，解得14t.故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，点D是线段BC上任意一点，点P满足3ADAP，若存在实数m和n，使得BPmABnAC，则mn（）A．23B．13C．13D．23【答案】D【解析】由题意，1ADABAC，且01，而33ADAPABBP，所以331ABBPABAC，即3133BPABAC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由已知，3,31,3mn则23mn，选项D正确.故选：D11．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知,ADBE分别为ABC的边,BCAC上的中线，设ADa，BEb,则BC＝（）A．43a＋23bB．23a＋43bC．23a43bD．23a＋43b【答案】B【解析】,ADBE分别为ABC的边,BCAC上的中线,则12ADBDBABCBA,111222BEBAAEBAACBAABBCBABC,由于ADa，BEb，所以111,222aBCBAbBABC,故解得2433BCab，故选：B12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在RtABC△中，90ACB，60BAC，若点D是斜边AB的中点，点P是中线CD上一点，且13APACAB，则（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1B．23C．12D．13【答案】D【解析】依题意，点P在线段CD上，如图所示则CPCD，即APACADAC，于是有1APADAC，因为点D是斜边AB的中点，所以2ABAD.所以11233APACABACAD所以2113，解得21,33.故选：D.13．（2022秋·山东济宁·高三济宁市育才中学校考阶段练习）（多选）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||ab且a与b同向，则abD．“若A、B、C、D是不共线的四点，且ABDC”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且ABDC，可得//ABDC，且ABDC，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知//ABDC，且ABDC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时A、B、C、D是不共线的四点，且ABDC，故D正确.故选：AD.14．（2023·广东梅州·统考三模）（多选）如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CDAB∥，12CDAB，E，F分别为DC，AE的中点，若,ADABBFR，则（）A．72B．2C．74D．1【答案】BC【解析】因为CDAB∥，122CDAB，所以14ADAEEDAEAB，因为F为AE的中点，所以2222AEAFABBFABBF，所以1722244ADABBFABABBF，所以74，2.可知：AD错误，BC正确.故选：BC.15．（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）（多选）设a，b是两个非零向量，且abab，则下列结论中正确的是（）A．ababB．ababC．a，b的夹角为钝角D．若实数使得ab成立，则为负数【答案】AD【解析】对A，当,ab不共线时，根据向量减法的三角形法则知||||||abab，当,ab反向共线时，||||||abab-=+rrrr，故abab，A正确；对B，若ab，则以,ab为邻边的平行四边形为矩形，且ab和ab是这个矩形的两条对角线长，则abab，故B错误；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对C，若,ab的夹角范围为π0,2，根据向量加法的平行四边形法则知：||||||ababrrrr，故C错误；对D，若存在实数，使得ab成立，则,ab共线，由于||||||ababrrrr，则,ab反向共线，所以为负数，故D正确.故选：AD.16（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知平面向量1,1a，3,4b，则下列说法正确的是（）A．2cos,10abrrB．b在a方向上的投影向量为22aC．与b垂直的单位向量的坐标为43,55D．若向量ab与向量ab共线，则0【答案】AD【解析】由题意知2222||112,345abrr，13141ab，对于选项A：12cos,1025abababrrrrrr，故A正确；对于选项B：b在a方向上的投影向量为212abaaarrrrr，故B错误；对于选项C：设与b垂直的单位向量的坐标为00,xy，可得2200001340xyxy，解得4535xy或4535xy，所以与b垂直的单位向量的坐标为43,55或43,55，故C错误；对于选项D：因为向量ab与向量ab共线，所以若存在tR，使得abtabtatbrrrrrr，则1tt，解得10t，故D正确．故选：AD.17．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若||||ab，则ab；②若ABCD、、、是不共线的四资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若ab，bc，则ac；④ab的充要条件是||a||b且//ab；⑤若//ab，//bc，则//ac．其中正确命题的序号是．【答案】②③/③②【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且ABDC等价于//ABDC且ABDC，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若ab,bc，则ac，显然正确，故③正确；对于④，由ab可以推出||||ab且//ab，但是由||||ab且//ab可能推出ab，故“||||ab且//ab”是“ab”的必要不充分条件，故④不正确，对于⑤，当0b时，//ab，//bc，但推不出//ac，故⑤不正确.故答案为：②③18．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是．①空间向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是ABDC；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．【答案】④⑤【解析】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD在同一条直线上，所以①不正确．由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．若ABDC，可得ABDC且//ABDC，所以四边形ABCD为平行四边形，当时若ABCD为平行四边形，可得ABDC，所以④正确．由模为0是一个向量为0，其中0的方向时不确定的，所以⑤正确．故答案为：④⑤.19．（