1.3 复数（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.3复数（精讲）一．复数的有关概念1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．（虚部不含i）2.复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数（b＝0），虚数（b≠0）纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．4.共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．（实同虚反）5.复数的模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．二．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.三．复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)2.几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ→＝OZ1-→＋OZ2-→，Z1Z2-→＝OZ2-→－OZ1-→.一．解决复数概念问题的方法1.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．2.复数绝大部分问题可以转化为复数的实部与虚部，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．二．复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】式三．复数的几何意义1.进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；2.把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．四．常用结论1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．考点一复数的计算【例1-1】（2023·甘肃·统考二模）已知i12iz，i为虚数单位，则z（）A．2iB．2iC．2iD．2i【答案】C【解析】因为i12iz，则ii122iz.故选：C.【例1-2】（2023·新疆·校联考二模）复数2023i2iz，则（）A．12ziB．12izC．12izD．12zi【答案】C【解析】因为20232ii2iz，所以2iiz，解得12iz，故选：C．【例1-3】（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知复数z满足(2i)i3iz，则z（）A．1iB．3iC．15iD．13i【答案】A资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为(2i)i3iz，所以3i2iiz(3i)(i)2ii(i)13i2i1i．故选：A.【例1-4】（2023·广东深圳·统考二模）已知复数z满足210zz，则zz_____________.【答案】1【解析】因为22131024zzz，即22133i242z，所以，13i22z或13i22z，若13i22z，则13i22z，则131313ii1222244zz，若13i22z，则13i22z，则131313ii1222244zz.综上所述，1zz.故答案为：1.【一隅三反】1．（2023·西藏拉萨·统考一模）设复数z满足1i2iz，则z（）A．2iB．2iC．12iD．12i【答案】B【解析】由1i2iz，得2i1122iiiz.故选:B.2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数112iz，21izz，则12zz（）A．13iB．13iC．3iD．32i【答案】B【解析】因为21i12iii2zz，所以1212ii213izz.故选：B.3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知12i2iz，则z（）A．45i33B．45i33C．iD．i【答案】D【解析】由12i2iz，有2i12i2i5ii12i12i12i5z，所以iz.故选：D资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·山西临汾·统考二模）复数221i（）A．2048iB．2048C．2048iD．-2048【答案】C【解析】22211211111111(1i)[(1i)](1i2i)(2i)2i2048(i)2048i.故选：C.5．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若i为虚数单位，则计算232021i2i3i2021i___________．【答案】10101011i【解析】设232021i2i3i2021iS，2342022ii2i3i2021iS，上面两式相减可得，2320212022(1i)iiii2021iS202120222022i(1i)i(1i)2021i2021ii+20211i1i，则2021i1i2021i20202022i10101011i1i1i1i2S．故答案为：10101011i．考法二复数的实部与虚部【例2-1】（2023·广西南宁·统考二模）已知复数33i2iz，则z的虚部为（）A．1i5B．15C．1D．i【答案】C【解析】因为33i2i3i55i1i2i2i2i5z，则z的虚部为1，故A，B，D错误.故选：C.【例2-2】（2023·江西九江·校联考模拟预测）若复数i2iz（i是虚数单位）的共轭复数是z，则zz的虚部是（）A．4i5B．15C．25D．45【答案】D【解析】复数i(i2iz是虚数单位）的共轭复数是z，i(2i)12i(2i)(2i)55z，12i55z，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12124iii55555zz，则zz的虚部是45.故选：D【一隅三反】1．（2023春·河南商丘）已知复数25iiz，则z的虚部为（）A．2B．2C．5D．5【答案】B【解析】i25i25i52ii1z，则z的虚部为2．故选：B.2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数5i52i的实部与虚部之和为_______.【答案】829【解析】因为225i52i5i2315i2315i52i52292929，所以5i52i的实部与虚部之和为23158292929.故答案为：829．3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i为虚数单位，且512i1ia，则1ia的虚部为（）A．2B．2C．2iD．2i【答案】B【解析】由512i1ia可得：512i1i2i21aaa，则202215aaa，所以1i=1+2ia的虚部为2.故选：B.考法三复数的分类【例3-1】（2023·辽宁·校联考二模）已知Ra，i24ia为纯虚数，则a（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为i24i2442ii24i24i24i20aaaa为纯虚数，所以240a，且420a，所以2a.故选：B.【例3-2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数12iiRaa是实数，则a的值是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．2B．2C．12D．12【答案】C【解析】12ii221iaaa，复数12iiRaa是实数，210a，解得12a.故选：C.【一隅三反】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若复数3i2ia是纯虚数，则实数a（）A．32B．32C．23D．23【答案】A【解析】3i(3i)(2i)23(6)i2i55aaaa，则230a，有32a.故选：A2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设z是纯虚数，若31iz是实数，则z的虚部为（）A．3B．1C．1D．3【答案】D【解析】设i0zbb，则223i1i33i33i33iii1i1i1i1i1i2bbbzbbb，因为31iz是实数，所以30b，即3b，所以3iz，故z的虚部为3.故选：D.3．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知z是纯虚数，21iz是实数，那么z（）A．2iB．iC．iD．2i【答案】A【解析】因为z是纯虚数，故可设i(0zbb），所以2i1i22i=1i1i1i1ibzb22i2bb，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为21iz是实数，所以20b，即2b，所以2iz.故选：A考点四复数的几何意义【例4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若复数2i1iz，则z（）A．1B．102C．104D．10【答案】B【解析】由|2i|510|1i|22z.故选：B【例4-2】（2023·广东湛江·统考二模）设复数z在复平面内对应的点为2,5，则1z在复平面内对应的点为（）A．3,5B．3,5C．3,5D．3,5【答案】A【解析】由题意得25iz，则1125i35iz，所以1z在复平面内对应的点为3,5，故选：A【例4-3】（2023·全国·校联考二模）已知复数z满足12i22iiz，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】2222i2213，22ii3i12i3i1i12i12i12i12iz，1iz，实部为1，虚部为-1，所以z在第四象限；故选：D.【例4-4】．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足42iRizaa，若10z，则复数z为（）．A．3iB．