10.2 平面向量的数量积（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10.2平面向量的数量积（精练）1．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）（多选）已知平面向量2,1a，,bxy，2,ct，则下列说法正确的是（）A．若3t，则向量c在a上的投影为55B．若acbc，则2x，1yC．若ab，bc∥，则1tD．若4t，则向量a与c的夹角为锐角【答案】AD【解析】对于A，因为3t，所以2,3c，又2,1a，所以向量c在a上的投影为2222315521caa，正确；对于B，因为acbc，且2,1a，,bxy，2,ct，所以2212txty，即2410xyt，该方程有无数组解，错误；对于C，因为ab，bc∥，且2,1a，,bxy，2,ct，则21yx，2ytx，即2xy，2ytx，所以txx，当0x时，Rt，当0x时，1t，错误；对于D，2,1a，2,ct，若ac∥时，221t，所以1t，此时a与c为相反向量，当4t时，2240actt，则向量a与c的夹角为锐角，正确；故选：AD2．（2022秋·云南保山·高三统考阶段练习）（多选）已知向量1,3a，,3bmm，其中Rm，则下列说法正确的是（）A．若//ab，则34m资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．若abab，则10bC．若a与b的夹角为钝角，则4mD．若3m，向量a在b方向上的投影为1【答案】ABD【解析】选项A：由//ab得1330mm，得34m，故A正确；选项B：由aabb得0bbaa，即220ab，所以2221310ba，故B正确；选项C：a与b的夹角为钝角，则0ab，且a与b不共线，由0ab得330mm，即92m，由选项A知a与b不共线时，34m，故C错误；选项D：3m时，3,0b，向量a在b方向上的投影为3cos,13abaabb，故D正确.故选：ABD3．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）（多选）已知单位向量,ab的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（）A．0abB．3abrrC．43aabD．aab【答案】BC【解析】若0ab，则可能为π，A选项不是为钝角的充分条件，故A不正确，若3abrr，两边平方得11cos22abab，即向量,ab的余弦值为12，所以2π3，B选项是为钝角的一个充分条件故B选项正确，若43aab，则13ab，即向量,ab的余弦值为13，所以cos0且cos1,为钝角，，C选项是为钝角的充分条件，故C选项正确，若aab，两边平方得12ab，当π时满足题意所以不一定为钝角，D不是为钝角的充分条件，故D不正确，故选：BC.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）（多选）已知向量1,3,2,4ab，则下列结论正确的是（）A．10abB．210abC．abarrrD．向量a与向量b的夹角为3π4【答案】ACD【解析】对于A中，由1,3,2,4ab，可得123(4)10ab，所以A正确；对于B中，由1,3,2,4ab，可得2(4,2)ab，可得225ab，所以B错误；对于C中，由1,3,2,4ab，可得3,1ab，可得133(1)0aba，所以abarrr，所以C正确；对于D中，由1,3,2,4ab，可得222213102(4,)25ab，所以102cos,21025ababab，因为,],0π[ab，所以3π,4ab，即向量a与向量b的夹角为3π4，所以D正确.故选：ACD.5．（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）（多选）已知平面向量2,1a，4,2b，2,ct，则下列说法正确的是（）A．若//acrr，则1tB．若bc，则4tC．若1t，则向量a在c上的投影向量为35cD．若4t，则向量b与c的夹角为锐角【答案】AB【解析】对于A，若//acrr，则220t解得1t，故A正确；对于B，若bc，可得0bc，即4220t，解得4t，故B正确；对于C，若1t，2,1c，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则向量a在c上的投影向量为35accccc，故C错误；对于D，若4t，则4220bct，所以cos,0bcbcbc，但当1t时，4,22bc，此时,bc同向，其夹角为0，故D错误.故选：AB.6．（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）（多选）已知向量1,3,2,2abxx，其中xR，下列说法正确的是（）A．若ab，则6xB．若a与b夹角为锐角，则6xC．若1x，则a在b方向上投影向量为bD．若4a【答案】AC【解析】若ab，则23(2)0abxx，解得6x，A正确；若a与b夹角为锐角，则23(2)0abxx，解得6x，当27x，412(,)77b，此时47ab，a与b夹角为0，B错误；若1x，则(2,1)b，因为a在b方向上投影为2355abb，与b同向的单位向量为255(,)55bb，所以a在b方向上投影向量为5(2,1)bbb，C正确；由题设，221310ar，D错误.故选：AC7．（2023·江苏常州·校考一模）已知平面向量,ab，满足2,1,1,10abab，则a在b方向上的投影向量的坐标为（）A．22,22B．1,1C．1,1D．22,22【答案】B【解析】由2a，2b，且10ab，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平方得22242210aabbab，解得2ab，所以a在b方向上的投影向量为2221,12abbabbbbbbb.故选：B.8．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量a，b满足2a，26aba，则b在a方向上的投影为（）A．1B．12C．12D．－1【答案】B【解析】因为2a，26aba，所以226aba，即2622ab，则1ab，故b在a方向上的投影1cos,2abbaba.故选：B.9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a（2，1），b（1，3），则向量a在b方向上的投影向量为（）A．110bB．110bC．110bD．110b【答案】C【解析】因为向量a（2，1），b（1，3），所以向量a在b方向上的投影向量为2311910abbbbbb，故选：C10．（2023·河北·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，已知24ADAB，且4ABBC，则向量AB与AC的夹角的余弦值为（）A．12B．0C．12D．32【答案】B【解析】由题意知，在平行四边形ABCD中，BCAD，24ADAB，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为||||cos(π)24(cos)4ABBCABBCABCABC，所以1cos2ABC.因为(0,π)ABC，所以π3ABC，又2,4ABBC，所以2222cos23ACABBCABBCABBCABBCABC，故222BCABAC，则π2BAC，所以向量AB与AC的夹角的余弦值为0.故选：B.11（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量a在向量b上的投影向量是32b，且1,1b，则ab（）A．3B．3C．62D．62【答案】A【解析】因为向量a在向量b上的投影向量是32b，所以,2cos3baab,因此,cosababab23322bbb3(11)23.故选：A.12．（2023·新疆·统考三模）设向量a，b为单位向量，且||||(0)abab，则向量a，b的夹角为（）A．6B．3C．2D．56【答案】C【解析】由题意知，||||1ab，||||abab，所以22()()abab，即22222222ababbaab，所以2212cos,12cos,abab，即4cos,0ab，又因为0，所以cos,0ab，所以π,2ab.故选：C.13．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知空间向量a，b，c满足20abc，||2a，||1b，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】||23c，则b与c夹角为（）A．30B．150C．60D．120【答案】B【解析】设b与c的夹角为，由20abc，得2bca，两边平方，得22244bbcca，所以44123cos124，解得3cos2，又因为0180，所以150，故选：B.14．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）如图，在ABC中，π2,,33BACADABP为CD上一点，且满足12APmACAB，若||2,||5ACAB，则AP的值为（）A．314B．132C．312D．134【答案】C【解析】在ABC中，由π,23BACADDB，P为CD上一点，且满足12APmACAB，则34APmACAD，又由PCD､､三点共线，则314m，即14m，因为||2,||5ACAB，则222111111131||425251644164244APACACABAB，则AP的值为312.故选：C.15．（2023·江西九江·统考一模）已知m、n为单位向量，则向量2mn与n夹角的最大值为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A【解析】设,mn，则222224454cosmnmnmmnn，22(2)22cos2mnnmnnmnn，则(2)cos2cos2,54cos2mnnmnnmnn，令54cost，因为1cos1，所以[1,3]t，252131334cos2,2442tmnnttttt，当且仅当3t时取等号，又2,0,πmnn，所以π2,0,6mnn，所以向量2mn与n夹角的最大值为π6．故选：A．16．（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）向量()0,2=ra，2,3b，则b在a上的投影向量为（）A．0,3B．0,3C．0,6D．0,6【答案】B【解析】因为()0,2=ra，2,3b，所以6ab，2a，所以b在a上的投影向量为0,260,322abaaa.故选：B17．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点2,1P，O为坐标原点，点A是圆O上的一点，且圆O的半径为1，则PAPO的最大值为（）A．5B．35C．55D．8【答案】C【解析】由题意可知，2,1PO，则2PAPOPOOAPOPOPOOA资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5555OPOAOPOA