10.3 平面向量的应用（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10.3平面向量的应用（精讲）考点一夹角【例1-1】（2023·江苏）若向量2,11ab--，，，a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A．1,22,2B．2,C．1,2D．1,2【答案】A【解析】当a与b共线时，此时22-，当2时，ab，此时a与b方向相反，当a与b的夹角为钝角时，则需0ab且a与b不反向，所以210--且2，解得22,1,2，故选：A【例1-2】．（2023秋·福建莆田）已知O为ABC的外心，且1AOABAC．若向量BA在向量BC上的投影向量为BC，其中34,55，则cosAOC的取值范围为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．13,1020B．13,510C．13,2010D．13,55【答案】D【解析】因为1AOABAC，所以COCB，又因为O为ABC的外心，所以ABC为直角三角形且ABAC，O为斜边BC的中点，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q，因为BA在BC上的投影向量为BC，所以OA在BC上的投影向量为1122OQBQBOBCBCBC，又因为12OABC，所以12cos2112BCOQAOCOABC，因为34,55，所以1321,55，即cosAOC的取值范围为13,55．故选：D.【一隅三反】1．（2023春·福建厦门）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cosEMF.【答案】210【解析】设ABa=，ADb，则111333AFABBFABBCABADab，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1122DEAEADABADab，又6ab，0ab，所以1123coscos,1123ababDEAFEMFDEAFDEAFabab22222211622310113521049ababab.故答案为：2102．（2023春·湖南怀化）在ABC中，已知2AB，3AC，π3BAC，AC和BC边上的两条中线BM，AN相交于点P，则MPN的余弦值为【答案】2247247/2247247【解析】由已知得MPN即为向量AN与BM的夹角.因为M、N分别是AC，BC边上的中点，所以1=+2ANABAC，1=2BMAMABACAB.又因为π=23cos33ABAC，所以11=+22ANBMABACACAB22111=424ACABACAB221111=3234242，221=+22ANABACABAC22119=2+32322,221=4BMACACABAB22113=33242,所以cosANBMMPNANBM121913222472472.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：72247243．（2023秋·山东枣庄）如图，在ABC中，已知2AB，3AC，60BAC，M是BC的中点，23ANAC，设AM与BN相交于点P，则cosMPN．【答案】1938【解析】因为M是BC的中点，所以1122AMABAC，211||22AMABAC22111||||||||cos60442ABACABAC911123422192，因为23ANAC，23BNANABACAB，22||3BNACAB22441||||||||932ACABACAB44194329322，所以AMBN112223ABACACAB221111||||||||2362ABACABAC11114923236212，所以cosMPNcos,AMBN|||AMBNAMBN1192381922.故答案为：1938.考点二最值【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，90,2,AABADBCD为等边三角形，当点M在对角线AC上运动时，MCMD的最小值为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．32B．-1C．12D．2【答案】A【解析】由题意，2ABAD，4560105ABCADC，22BCDCBD，所以ABCADC△△，所以ACBACD，即AC平分BCD，由MDMCCD可得2()MCMDMCMCCDMCMCCD22263cos150622MCMCCDMCMCMC，所以当62MC时，MCMD有最小值为32.故选：A【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，226090ABBCCDABCADC，，，若P为边BC上的一个动点，则PAPC的最小值是（）A．1B．14C．12D．14【答案】B【解析】因为三角形ABC中，260，ABBCABC，所以ABC是边长为2的等边三角形，则以BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系如图，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则0,31,01,0，，ABC，设(,0)Px，则11x，故2211,31,024PAPCxxxxx，显然当12x时，PAPC取得最小值14，故选：B.2．（2022春·辽宁大连·）设平面向量,,abc满足1,2,aba与b的夹角为2π,3且102acbc，则cr的最小值为（）A．31B．3C．31D．23【答案】A【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，不妨令1,0aOA，因为1,2,aba与b的夹角为2π,3所以2π2π2cos1,2sin333BBxy，所以1,3bOB，设,cOCxy，则1111,222acxy，1,3bcxy，由102acbc，所以11113022xxyy，即22230xxyy，即2213322xy，即C点表示以13,22D为圆心，3为半径的圆，又2213122OD所以331cOCOD；故选：A3．（2023秋·河北保定）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足3BEEC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12AEBD，则AFBE的最大值为（）A．0B．23C．43D．3【答案】D【解析】由3BEEC，可得34BEBC，设DAB，可得AEBDABBEADAB23344ABADABBCADADAB13122cos44cos1442，所以1cos2，因为[0,π]，所以π3，以AC与BD交点O为原点，以,ACBD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则3,0A，331,44E，0,1B，设0,Ft，且11t，则3,AFt，333,44BE，9344AFBEt，当1t时，max93344AFBE.故选：D.考点三平面向量与四心【例3-1】（2023春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是ABC内一点，BMC△，AMC，AMB的面积分别为AS，BS，CS，且0ABcSMASMBSMC．以下命题正确的有（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若::1:1:1ABCSSS，则M为ABC的重心B．若M为ABC的内心，则0BCMAACMBABMCC．若45BAC，60ABC，M为ABC的外心，则::3:2:1ABCSSSD．若M为ABC的垂心，3450MAMBMC，则6cos6AMB【答案】ABD【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，由::1:1:1ABCSSS，则0MAMBMC，所以2MDMBMCMA，所以A，M，D三点共线，且23ADMA，设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得23CMCE，23BMBF，所以M为ABC的重心，故A正确；对于B，由M为ABC的内心，则可设内切圆半径为r，则有12ASBCr，12BSACr，12CSABr，所以1110222BCrMAACrMBABrMC，即0BCMAACMBABMC，故B正确；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，由M为ABC的外心，则可设ABC的外接圆半径为R，又45BAC，60ABC，则有290BMCBAC，2120AMCABC，2150AMBACB，所以222111sinsin90222ASRBMCRR，222113sinsin120224BSRAMCRR，222111sinsin150224CSRAMBRR，所以::2:3:1ABCSSS，故C错误；对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，由M为ABC的垂心，3450MAMBMC，则::3:4:5ABCSSS，又ABCABCSSSS，则4ABCASS，3ABCBSS，设MDx，MFy，则3AMx，2BMy，所以coscos23xyBMDAMFyx，即2232xy，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以6cos6BMD，所以6coscosπ6AMBBMD，故D正确；故选：ABD．【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的是（）A．已知平面向量,,OAOBOC满足OAOBOC，且0OAOBOC，则△ABC是等边三角形B．若()()0ACBCBAOAOABABACBCBABuuuruuuruuruuruuuruuuruuuuruuuuruurur?-?=，则点O为△ABC的重心C．若()()0OAOBABOBOCBC，则点O为△ABC的外心；D．若OAOBOBOCOCOA，则点O为△ABC的垂心【答案】ACD【解析】A：由OAOBOC知：O是△ABC的外心，若D是BC的中点，则2OBOCOD，又0OAOBOC，即2OAOD，故,,AOD共线且2OAOD，易知O是△ABC的内心，综上△ABC的内外心重合，即△ABC是等边三角形，正确.B：由()0ACABAACABOuuuruuruuuuuruuruur-?且1eACACuuururuur=、2ABeABuuurruuur=是在AC、AB上的单位向量，即有12eeOAOAuurruurr=鬃，故OA是BAC的平分线，同理OB是ABC的平分线，所以O为△ABC的内心，错误；C：若,DE分别为,ABBC的中点，则2OAOBOD，又()0OAOBAB，即0ODAB，故ODAB，同理2OBOCOE，又()0OB