3.3 指数运算及指数函数（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.3指数运算及指数函数（精讲）一.根式1.如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根；2.式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；3.(na)n＝a．当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.二.分数指数幂的意义1.分数指数幂资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①正分数指数幂：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)．③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．2.实数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈R)．三．指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．易错点：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a0且a的函数叫做指数型函数，不是指数函数.2．指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象与性质底数a10a1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)当x0时，恒有y1；当x0时，恒有0y1当x0时，恒有0y1；当x0时，恒有y1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a1来研究一．指数幂运算原则（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．二．指数函数图象的画法资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.三．指数函数的图象与底数大小的比较1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大．2.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．3.比较指数式的大小的方法是(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．考法一指数幂运算【例1】（2023·贵州）化简求值（1）2102321273(2)(2)()();482（2）14113334422(3)(6)(,0)xxyxyxy．(3)10046234.253216322428229004；(4)4133322333381242aabbaababa资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（5）已知：11223aa，求33222222aaaa的值．【答案】(1)12；(2)2xy(3)100(4)a（5）49【解析】（1）原式12232233321223-轾轾骣骣骣犏犏琪琪琪=--+琪琪琪犏犏桫桫桫臌臌344112992（2）原式141132334422(3)(6)xyxy（3）10046234.25321632242822900446310.25331311422242324272122413111311324262222446332427212213324423242721222727211004（4）4133322333381242aabbaababa11113333221133338422aabaabababa11133322111333338422aabaabababa88abaaab（5）因为11223aa，所以21112229aaaa，即17aa，所以2122249aaaa，即2247aa，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以111223322222212371224224729aaaaaaaaaa.【一隅三反】1.（2023·安徽）计算或化简下列各式：(1)200.5311161202296421；(2)413333223331aabbaaaabb．(3)013633470.00116238；(4)已知13xx，求下列各式的值：①1122xx；②3322xx．【答案】(1)21(2)a(3)89；(4)①5；②25.【解析】（1）原式1241211343122144．（2）原式11133322111111333333aabaaabaabb111333331133aabaab．（3）原式11136634323410122310187289；（4）①∵2221111111122222222325xxxxxxxx，∴11225xx，又由13xx得0x，∴11220xx，所以11225xx；②（法一）332233111111112222222222xxxxxxxxxx11122153125xxxx，（法二）33333322322322222(()()2)2xxxxxxxx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而331221xxxxxx2112333318xxxx，∴2332220xx，又由130xx得0x，∴33220xx，所以33222025xx.2．（2023·云南）解下列方程：(1)2123210xx；(2)342956xxx；(3)2lglg1020xxx；(4)lg2541lg5xxx．【答案】(1)=1x；(2)0x或1x；(3)110x或10x；(4)54x.【解析】（1）由2123210xx，可得2223220xx，所以222201xx，所以2210x?=，即121x，所以=1x；（2）由342956xxx，可得2232502323xxxx，所以2203233xxxx，所以230xx或20323xx，由230xx，可得213x，故0x，由20323xx，可得1123xx，即1213x，所以10x，即1x，所以0x或1x；（3）因为2lglglglg1010xxxxx，所以原方程可化为lg220xx，即lg10xx，两边取对数可得2lg1x，即lg1x，所以10x或110x，经检验10x或110x是原方程的解，所以10x或110x；（4）由lg2541lg5xxx，可得lg254lg2lg2xxxx，所以2542xxx，即54x，经检验满足题意，所以54x.考法二指数函数的三要素及定点【例2-1】（2023·广东）函数①4xy；②4yx；③4xy；④(4)xy；⑤πxy；⑥24yx；⑦xyx；⑧(1)(1)xyaa中，是指数函数的是_________．【答案】①⑤【解析】因为指数函数为(0xyaa且1)a，故①⑤正确；由幂函数定义知，4yx是幂函数，故②不正确；由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；对于⑧，当2a时，11xxya，不是指数函数.故答案为：①⑤.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例2-2】（2023广东湛江）函数22313xxy的定义域为________．【答案】[1,3]【解析】由题设223130xx，即2230313xx，所以223(1)(3)0xxxx，可得13x，故函数定义域为[1,3].故答案为：[1,3]【例2-3】（2023·上海奉贤）点2,16P、2log3,Qt都在同一个指数函数的图像上，则t=________．【答案】9【解析】设指数函数为xfxa，其中0a且1a，将2,16P、2log3,Qt代入函数解析式得22log316aat，解得4a，22log32log3429t.故答案为：9【例2-4】（1）（2023春·湖北咸宁）当1,1x时，函数32xfx的值域是（）A．51,3B．1,1C．5,13D．0,1（2）（2023·辽宁丹东）函数2212xxy的值域为（）A．0,2B．0,C．2,D．1,【答案】（1）C（2）A【解析】（1）因为指数函数3xy在区间1,1上是增函数，所以11333x，于是11323232x，即5()13fx所以函数32xfx的值域是5,13.故选：C.（2）依题意，令22txx，则222111txxx，因为12ty单调递减，且102ty所以112212ty，所以y0,2.故选：A.【例2-5】（1）（2023云南）函数2630,1xfxaaa恒过定点（2）（2023·全国·高三专题练习）函数23(0xyaa且1)a的图象恒过定点A，若点A在直线40mxny上，其中0m，0n，则21mn的最小值为__________.【答案】（1）3,4（2）3222资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题设，当260x，即3x时，0(3)34fa，所以函数过定点3,4.故选：B（2）令20x，即2x，则032ya，所以23xya的图象恒过定点(2,2)A，因为点A在直线40mxny上，所以2mn，又0,0