3.4 对数运算及对数函数（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.4对数运算及对数函数（精讲）一．对数的概念（1）一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数常用对数将以10为底的对数叫做常用对数把log10N记为lgN资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】自然对数将以无理数e＝2．71828…为底的对数叫做自然对数把logeN记为lnN二．对数的性质与运算性质(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM．(2)对数的性质：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad．三．对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数四.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一．对数运算1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．2.将同底对数的和、差、倍合并．3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．二．对数函数的图象资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．三．比较对数值大小的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系四．简单对数不等式1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．2.对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．3.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．五．盘点易错易混1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论；2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想．考法一对数的运算【例1-1】（2023·广东潮州）求值：(1)lg27lg83lg10lg1.2；(2)21|1lg0.001|lg4lg34lg6lg0.023(3)341lg2lg3lg5log2log94；(4)21log32531lglog3log2log5lne2100.【答案】(1)32(2)6(3)2(4)4资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）31322233lg33lg2lg27lg83lg10lg3lg23lg102212lg1.2lg321lg103lg32lg2132lg32lg212.（2）23212|1lg0.001|lg4lg34lg6lg0.021lg10lg34lg34lg2lg3lg3100213lg32lg2lg3lg22，因为lg32，所以21|1lg0.001|lg4lg34lg6lg0.0222lg3lg2lg3lg2263.（3）341lg2lg3lg5log2log942232log9lg2lg23lg5log2log432lg22lg23lg5log2log33(lg2lg5)13lg101312.（4）21log32531lglog3log2log5lne21002log322222log2log512log322log5log321126224.【例1-2】已知log23＝a，3b＝7，则log37221的值为________．【答案】2＋a＋ab2a＋ab【解析】由题意3b＝7，所以log37＝b．所以log37221＝log8463＝log284log263＝log2（22×3×7）log2（32×7）＝2＋log23＋log23·log372log23＋log23·log37＝2＋a＋ab2a＋ab．【一隅三反】1．（2023广东湛江）计算：(1)lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1；(2)223666661log2log33log2log18log23(3)1223631226lne3334(4)228393(log3log9)(log4log8log2)(lg2)lg20lg5(5)2log532511()lnlog5log9lg42lg52e．(6)已知lg2a，lg3b，求2log12的值．【答案】(1)4(2)1(3)3(4)172(5)115(6)2ba资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）lg8lg125lg2lg5lg10lg0.11128125lg25lg10lg102lg101124；（2）223666661log2log33log2log18log233226666318log2log33log2log22236666log2log33log2log9226666log2log32log2log3266log2log31．（3）原式221111111113332362362222255122lne333233422（4）原式=22233322log3log32log2log2log2lg2lg20lg53322235915log3log2lg2lg20lg5lg2lg21lg5322215151517lg2lg2lg5lg5lg2lg2lg5lg5lg2lg52222（5）22log5log515532555log5log911lnlog5log9lg4lg252lnelg4252elog3log25122log5215552555log5log32log311121lg10512log3log5log325；（6）222222lg3log12log23log2log322lg2ba..考法二对数函数的三要素及定点【例2-1】（1）（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数0.5log32yx的定义域是（）A．2,13B．2,3C．0,1D．2,13（2）（2023·全国·高三对口高考）函数216lg(sin)xyx的定义域是（）A．[4,4]B．ππ4,,422C．[4,π)(0,π)D．ππ[4,π)0,,π22资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）D（2）D【解析】（1）函数0.5log32yx有意义，则有0.5320log320xx，即3200321xx解得213x，所以函数0.5log32yx的定义域是2,13.故选：D（2）216lg(sin)xyx有意义满足2160sin0lg(sin)0xxx，即442ππ+2ππ+2π2xkxkxk，kZ，解得ππ4,π0,,π22x，故选：D【例2-2】（1）（2023春·云南保山）函数2lg2fxxxm的值域为R，则实数m的取值范围是（2）（2023·全国·高三专题练习）设24(1)log(4)(1)afxxa，则()fx值域是_______（3）（2023·山东）已知函数22,4,log,4,xaxfxxx若()fx存在最小值，则实数a的取值范围是【答案】（1）1m£（2）,log4a（3）(,2]【解析】（1）因为函数2lg2fxxxm的值域为R，所以，0,为函数22yxxm的值域的子集，所以，440m，解得1m£.（2）设21(1)xtt，则2()log(4(1))(1)afttt，于是2()log(4(1))(1)afxxx.设24(1)(1)uxx，根据二次函数性质，1,x时，u关于x单调递减；根据对数函数性质，logayu在定义域上递增.于是由复合函数单调性的性质，2()log(4(1))afxx在1,上单调递减，而(1)log4af，于是()fx值域是：,log4a.故答案为：,log4a（3）∵函数22,4,log,4,xaxfxxx∴当4x时，()2xfxa的范围是(,16)aa；当4x时，2()logfxx，min()2fx，由题意()fx存在最小值，则2a，解得2a.故选：D．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例2-3】（2023·山东德州）函数log440,1ayxaa的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则cos（）A．35B．35-C．45D．45【答案】B【解析】令41x，则3,4xy，即3,4P，所以33cos5916.故选：B.【一隅三反】1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数2log0,0fxaxbab恒过定点2,0，则1bab的最小值为（）．A．221B．22C．3D．22【答案】A【解析】由题意可知21ab，则1222121221bbabbabaabababab，当且仅当222a，21b时，1bab的最小值为221，故选:A．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1lg1xfxx，则函数121gxfxx的定义域是（）A．2xx或0xB．122xxC．2xxD．12xx【答案】B【解析】要使1lg1xfxx有意义，则101xx，即110xx，解得11x，所以函数fx的定义域为1,1，要使121gxfxx有意义，则11210xx，解得122x，所以函数gx的定义域为122xx.故选：B3．（2023·湖北）已知函数log2afxx（0a，且1a）在1,3上的值域为2,4，则实数a的值是（）A．3B．13C．23D．32资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A【解析】若01a，则log2afxx在1,3上单调递减，则log322afx，不符合题意；若1a，则log2afxx在1,3上单调递增，则2log32afx