5.1 三角函数的定义（精练）（教师版）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司15.1三角函数的定义（精练）1．（2023春·江西赣州）把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（）A．π3B．π3C．π6D．π6【答案】B【解析】分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的六分之一，所以该手表分针转过的角为：1π2π63.故选：B.2．（2023·福建）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么，下列各角与380角终边相同的是（）A．20B．30C．40D．50【答案】A【解析】因为与380角终边相同的角的集合为|380360,Zkk，当1k时，得到20，又Zk，所以易知BCD均不符合题意.故选：A.3．（2023春·天津）下列命题中正确的是（）A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C．终边相同的角的弧度制表示相差2πD．终边相同的角的弧度都相同【答案】A【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系，故A正确，B错误，终边相同的角的弧度制表示相差2π的整数倍，故C错误，D错误；故选：A4．（2023春·云南）下列说法正确的有几个（）（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于0小于90的角；A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】第一象限角的集合为036090360,Z|kkk，锐角是大于0小于90的角，锐角的集合为9|00所以（1）错误，（2）正确，（3）正确故选：C.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司25．（2023春·山东）已知点A在以原点为圆心的圆周上，从x轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，速度为每分钟转90180角.若点A在2分钟时落在第三象限，18分钟时回到出发位置，则大小是（）A．100B．120C．100或120D．120或140【答案】C【解析】由题意得，3ππ2π22π,Z2kkk，故π3πππ24kk，因为ππ2，所以0k，π3π24，因为18分钟时回到出发位置，所以182π,Znn，故π9n，可得ππ3π294n，所以92724n，因为Zn，所以5n或6n，5π9或6π2π93，即100或120.故选：C.6．（2023·山东济南·统考三模）在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆盘上点()1,0A重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当2rad时，点M与点O之间的距离为（）A．1cos1B．2sin1C．2D．5【答案】D【解析】展开过程中：2,1BMABRBO,225MOBMBO,故选：D.7．（2023·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为4π4πsin,cos55，则的最小正值为（）A．π5B．3π10C．4π5D．17π10【答案】D【解析】因为4ππ3π5210，所以4ππ3π3πsinsin=cos521010，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3而4ππ3π3πcoscos=sin521010，所以角的终边上点的坐标可写为：3π3πcos,sin1010，所以3π2π,Z10kk-+?=，因此的最小正值为3π17π2π1010.故选：D8．（2023·山东菏泽）已知角的终边过点3,m，若25cos25，则实数m的值为（）A．3B．4C．3或3D．4或4【答案】D【解析】因为25cos25，所以23cos2cos125，所以295m，解得4m．故选：D．9．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段,ABAC和圆的优弧BC围成，其中,ABAC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（）A．2π33B．2π233C．π233D．π33【答案】A【解析】如图，设圆弧所在圆的圆心为O，连接,,OAOBOC，依题意得,OBABOCAC，且1,2OBOCOA，则π3,3ABACBAC，所以2π3BOC，所以该封闭图形的面积为2112π2π2312π132233.故选：A.10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知3,4为角终边上的一点，1tan2，则tan（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4A．13B．12C．13D．12【答案】D【解析】由题易知，4tan3，则41tantan132tan411tantan2132．故选：D．11．（2023春·北京）设是第二象限角，则3的终边在（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限【答案】D【解析】因为是第二象限角，所以π2π2ππ,Z2kkk，2ππ2ππ,Z36333kkk++?，当=0k时，ππ633，在第一象限；当=1k时，5ππ63，在第二象限；当=2k时，3π5π233，在第四象限；故选：D12．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知直线2ykx与圆22:4Oxy交于不同的两点A，B，若弧AB的长度为2π3，则k（）A．33B．1C．2D．3【答案】A【解析】圆224xy的圆心O的坐标为0,0，半径2r，因为弧AB的长度为2π3，所以π3AOB，又2OAOB，所以AOB为等边三角形，所以顶点0,0O到边AB的距离为3，所以2231k，所以33k，故选：A.13．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与x的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转π6后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点34,55P，则sin26π（）A．725B．725C．2425D．2425【答案】A原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5【解析】由题设π4sin65，由2πππππsin2cos[(2)]cos(2)2sin()162636725.故选：A14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知锐角终边上一点22cos80sin20P，，则tan3（）A．33B．3C．33D．3【答案】B【解析】由锐角终边上一点22cos80sin20P，，所以220tansin20sin202cos82sin10==22sin10cos102sin10=cos10sin80tan80sin10cos80===，所以80，所以tan3tan240tan18060tan603，故选：B.15．（2023·全国·高三专题练习）已知tan6a，sin6b，3666c，则（）A．bacB．acbC．cabD．abc【答案】D【解析】因为02时，sintan，026，所以0sintan66，又236066666，所以abc故选：D16．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点34,55A，将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB，则点B的横坐标为____________.【答案】34310【解析】易知34,55A在单位圆上，记终边在射线OA上的角为，如下图所示：根据三角函数定义可知，34cos,sin55；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB，则终边在射线OB上的角为π3，所以点B的横坐标为0πππcoscoscossinsin3333431.故答案为：3431017．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，AC所在圆的圆心O在线段AB上，若CAB，ACm=，则扇形OAC的面积为___．【答案】22π28cosm【解析】如图，过点C作CDAB，设AC所在圆的半径为R，则AOOCR，在RtADC中，CAD，ACm=，所以cosADm，sinCDm，所以，cosODRm.在RtODC△中，有222CDODOC，即222sincosmRmR，整理可得，2cosmR.因为AOOCR，所以π2COA，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司7所以，扇形OAC的面积为222π21π228cosmSR.故答案为：22π28cosm.18．（2023·湖北·校联考模拟预测）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体Ω，其中Ω的下半部分是半径为33的球1O的一部分，Ω的上半部分是半径为3的球2O的一部分，且126OO，则过直线12OO的平面截Ω所得截面的面积为__________．【答案】57π932【解析】设N是两球面的一个公共点，且位于截面上，由22122221233336ONONOO，得12ONON，故1122tan3ONOONON，从而1221,36ππOONOON．所以截面面积为2214π110π57π3(33)3339323262．故答案为：57π93219．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知272,22OP，将OP绕原点O沿顺时针方向旋转45°到OQ的位置，则Q点的坐标为______.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司8【答案】(3,4)【解析】由向量272,22OP，可得5OP，设xOP，可得722sin,cos1010，将OP绕原点O沿顺时针方向旋转45到OQ的位置，可得45xOQ，可得22222723cos(45)cossin()222102105，22272224sin(45)sincos()222102105，设(,)Qxy，可得cos3,sin4xOPyOP，即(3,4)Q.故答案为：(3,4).