5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5.5解三角形与其他知识的综合运用（精练）1．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2010年9月16日，曲靖市麒麟区寥廓山顶的靖宁宝塔竣工开放，成为曲靖当地的又一标志性建筑.某中学数学兴趣小组为了测量宝塔高度，在如图所示的点A处测得塔底位于其北偏东60°方向上的D点处，塔顶C的仰角为60°.在A的正东方向且距A点64m的点B处测得塔底在其北偏西45°方向上（A､B､D在同一水平面内），则靖宁宝塔的高度CD约为（）（参考数据：31.73）A．96.8mB．86.8mC．81.3mD．79.6m【答案】C【解析】如图，由题意得，30,45,105BADABDADB.在ABD△中，由正弦定理得sinsinABADADBABD，sin4531sin105ABADAB，CDAD，且60CAD，在RtACD△中，tan603331.736481.2881.3CDADAB.故选：C.2．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔，纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士，它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度，某同学设计了如下测量方案：在烈士纪念塔底座平面的A点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为32，然后直线走了20m，抵达纪念塔底座平面B点位置测得纪念塔顶端的仰角为π3.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为π3，则该烈士纪念塔的高度约为（）A．30mB．45mC．60mD．75m【答案】C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题设，如下图纪念塔为OH，且O为底部，H为顶部，π3HBOBAO，由3tan2HOHAOAO，20AB，而tan3HOHBOBO，若3HOm，则2AOm，3BOm，在△ABO中2222cosBOAOABAOABBAO，所以223440040mmm，即2404000mm，可得20m，所以60HO米.故选：C3．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25mB．50.76mC．56.74mD．58.60m【答案】B【解析】如图，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设球的半径为,3,tan10RRABRAC3100tan10RBCR，100100sin101cos103sin103tan10R，100sin1050sin1050sin102525.2sin(3010)sin202sin10cos10cos100.98550250.760.985R，故选：B4．（2023·四川·模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知三个向量,cos2Ama，,cos,,cos22BCnbpc共线，则ABC的形状为（）A．等边三角形B．钝角三角形C．有一个角是6的直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】向量(,cos)2Ama，(,cos)2Bnb共线，coscos22BAab，由正弦定理得：sincossincos22BAAB，2sincoscos2sincoscos222222AABBBA，则sinsin22AB，022A，022B，22AB，即AB．同理可得BC．ABC形状为等边三角形．故选：A．5．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若sinsin2ACabA，23SBACA，则ABC的形状是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．钝角三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】由题设及正弦定理边角关系有sinsinsinsin2ACABA，而sin0A且ACB，所以sincos2sincos2222BBBB，又022B，可得1sin22B，所以26B，故3B，而333cos222SBACAABACbcA，又1sin2SbcA，所以3cossinAA，故tan30A，0A，可得3A，综上，ABC为正三角形.故选：C6．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，若2ABABACBABCCACB，则ABC是的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】C【解析】由2ABABACBABCCACB，可得2coscoscoscbcAacBabC，又由余弦定理，可得2222222222222bcaacbbacc，整理得222bac，所以ABC是直角三角形.故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，打算改建成矩形花圃ABCD，中间划分出直角三角形MPQ区域种玫瑰，直角顶点M在边AB上，且距离A点5m，距离B点6m，且P、Q两点分别在边BC和AD上，已知8mBC，则玫瑰园的最小面积为（）A．230mB．215mC．2302mD．2152m【答案】A【解析】如图所示，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设BMP，则2AMQ，AQM，所以6cosMP，5sinMQ，所以222115sincostan11151515tan2sincossincostantanMPQSMPMQ，又P、Q两点分别在边BC和AD上，所以6tan0,8BP，50,8tanAQ，所以54tan,83，所以1tan2tantan2tan，当且仅当1tantan，即tan1时，等号成立，所以115tan30tanMPQS，即MPQS的最小值为230m，故选：A.8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）（多选）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得100mCDCE，75BAD，120AEC，200mAE，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（）A．200mADB．ADC△的面积为210003mC．1006mABD．点A在点C的北偏西30方向上【答案】AC【解析】对于A，因为75BAD，点B位于点A的南偏西45的方向上，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以45B，60ADB，120ADC，又120AECADC，100mCDCE，ACAC，200mAE，在AEC△，ADC△中，2222cos120ACAECEAECE，2222cos120ACCDADADCD，所以200mADAE，故A正确；对于B，ADC△的面积为2113sin20010050003m222ADCDADC，故B错误；对于C，在ABD△中，由正弦定理，得sinsinABADADBB，解得3200sin21006msin22ADADBABB，故C正确；对于D，过点A作AGBC于点G，易知30DAG，所以30CAG，故D错误，故选：AC．9．（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.【答案】10015【解析】由题意，30,60DCBCDB，所以90CBD，所以在RtCBD△中，13002BDCD，330032BCCD，又75,45DCACDA，所以60CADo，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在ACD中，由正弦定理得，sin45sin60ACCD，所以60022006232AC，在ABC中，753045ACBACDBCD，由余弦定理得，2222cosABACBCACBCACB222(2006)(3003)2200630031500002，所以10015AB.故答案为：1001510．（2023·广东广州·统考模拟预测）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得35mCD，135ADB，15BDCDCA，120ACB，则A、B两点的距离为___________m．【答案】355【解析】因为135ADB，15BDCDCA，所以150ADC，15DACDCA，所以35ADCD，又因为120ACB，所以135BCD，30CBD，在BCD△中，由正弦定理得sinBDBCDsinCDCBD，即351222BD，解得352BD，在ABD△中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB，所以2222353522353522AB，解得355mAB．故答案为：355资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023·湖南）在锐角ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足212ACABbab.(1)求角C的大小；(2)求sinsinsinABC的取值范围.【答案】(1)3(2)3333,22【解析】（1）22221cos22bcaACABbcAbab整理得222abcab，故2221cos22abcCab又0C，所以3C；（2）由锐角ABC知0,0,232ABA，，得,62A，故3sinsinsinsinsin23ABCAA3sinsincossincos233AAA333sincos222AA33sin62A，因为2,,62633AA，，得3sin,162A，所以3333sinsinsin,22ABC.12．（2023·河北）设函数()fxmnurr，其中向量2cos,1mx，cos,3sin2nxxxR.(1)求()fx的最小值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知2fA，1b，△ABC的面积为32，求sinsinbcBC的值.【答案】(1)1