5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5.5解三角形与其他知识的综合运用（精讲）一．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).二．方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).三．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.四.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一解三角形在实际生活中的运用【例1-1】（2023·河北·模拟预测）释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔AB的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点M，并垂直竖立一高度为1m的标杆MN，从点N处测得木塔顶端A的仰角为60°，再沿BM方向前进92m到达C点，并垂直竖立一高度为2.5m的标杆CD，再沿BC方向前进2m到达点E处，此时恰好发现点A，D在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离1.5mEF，则小张用此法测得的释迦塔的高度AB约为（参考数据：31.732）（）A．64.5mB．67.8mC．70.2mD．72.4m【答案】B【解析】如图,过点N作NQAB于点Q,过点F作FPAB于点P,交CD于点G,则四边形BMNQ,BCGP,BEFQ都是矩形,所以1m,,1.5m,2mBQMNBMQNBPCGEFFGCE,所以2.51.51mDGCDEF.在RtAQN△中,1tantan60AQABQNANQ13AB,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以1943ABFPBMMCCE,由已知得DFGAFP∽,所以FGFPDGAP,即1942311.5ABAB,解得58195311AB581951.73267.8m11.故选：B.【例1-2】（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度1003,502MCmNBm，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为60，N点的人仰角为30，以及45MAN，则M，N间的距离为（）A．1002mB．120mC．1003mD．200m【答案】A【解析】由题意，可得60,30,1003,502,45MACNABMCNBMAN，且90MCANBA，在直角ACM△中，可得200sin60MCAM，在直角ABN中，可得1002sin30NBAM，在AMN中，由余弦定理得2222cos20000ANAMANAMANMAN，所以1002MNm.故选：A.【一隅三反】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑AE的高度，E为该建筑顶部.在B处测得仰角30ABE，当沿一固定方向前进60米到达C处时测得仰角45ACE，再继续前进30米到达D处时测得仰角60ADE，已知该建筑底部A和B、C、D在同一水平面上，则该建筑高度AE为（）A．303202B．203302C．45D．90【答案】D【解析】设3AEx，由题意知tan3AEADEAD，所以ADx，同理3tan1,tan3AEAEACEABEACAB，即3,3ACxABx.在ADC△和ABC中，180ACDACB.由余弦定理可得：22223900336009cos,cos6031203xxxxACDACBxx，即2222390033600906031203xxxxxx，解得303,390xx.故选：D2．（2023·陕西西安·统考一模）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为6cm，在它们之间的地面上的点M（,,BMD三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取31.7)（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．24.2mB．28.2mC．33.5mD．46.4m【答案】B【解析】在直角ABM中，sin15ABAM，因为在ACM△中，301545CAM，1801560105AMC，所以30ACM，在ACM△中由正弦定理sinsinAMCMACMCAM可得sin2sinsin15CAMABCMAMACM，又由()232162sin15sin453022224-?????，所以在直角CDMV中，可得666sin60186328.22sin156224ABCDCM,故选：B3．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得45BCD，105BDC，100CD米，在点C处测得酒店顶端A的仰角28ACB，则酒店的高度约是（）（参考数据：21.4，62.4，tan280.53）A．91米B．101米C．111米D．121米【答案】B【解析】由题设30CBD，在△BCD中sinsinCDBCCBDBDC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又62sinsin105sin(6045)sin60cos45cos60sin454BDC，所以62100sin450(62)1sin2CDBDCBCCBD，又tan50(62)tan28101ABBCACB米.故选：B考法二解三角形与平面向量的综合【例2】（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量,cos2Ama，,cos2Bnb，,cos2pcC共线，则ABC形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】向量(,cos)2Ama，(,cos)2Bnb共线，coscos22BAab．由正弦定理得：sincossincos22BAAB．2sincoscos2sincoscos222222AABBBA．022A，022B所以cos0,cos022AB则sinsin22AB．22AB，即=AB．同理由,cos2Bnb，,cos2pcC共线，可得=BC．ABC形状为等边三角形．故选：A．【一隅三反】1．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知点O为ABC的外心，且AOABBOBCCOCA，则ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】ABC三个角所对的三边分别为,,abc，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取AB的中点N，BC的中点M，AC的中点E，连接ON，OM，OE，则ONAB，OMBC，OEAC，所以22211112222AOABABNOABABNOABABc，22211112222BOBCBCMOBCBCMOBCBCa，22211112222COCACAEOCACAEOCACAb，因为AOABBOBCCOCA，所以222111222cab，即222cab，由余弦定理得222cos02cabBac，因为0πB，所以ππ2B，即ABC为钝角三角形.故选：C.2．（2022·广东广州·ABCABCabc(,)mbac三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，(,)nbccamn，.(1)8a8ABACDBCAD若，，为边的中点，求中线的长度；(2)EBC1AE:2:BEECcb2bc若为边上一点，且，，求的最小值.【答案】(1)26；(2)977.【解析】(1)∵向量(,)mbac，(,)nbcca，mn，∴2220mnbbcca，即222bcabc，∴2221cos,0,22bcaAAbc，∴3A，∵D为边BC的中点，8a，8ABAC，∴12ADABAC，1cos82ABACbcAbc∴222222111228444ADABACABABACACcb，又222bcabc，16bc，8a，∴222641680bcabc，∴222112880162444ADcb，即26AD，∴中线AD的长度为26；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)∵E为边BC上一点，:2:BEECcb，∴22cBEBCcb，∴22cAEABACABcb，∴222cbAEACABcbcb，即22cbAEcACbAB，∴22222cbAEcACbAB，又1AE，∴222222222222427cbcACbABcbbcbcbc，∴27cbbc，即217bc，∴121122122972241527777bcbcbcbcbccbcb，当且仅当22bccb，即377bc取等号，故2bc的最小值为977考法三解三角形与三角函数性质综合【例3】（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数2sin3sincos1222xxfxx.(1)求函数yfx的单调递减区间；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足221cos2abacBbc，求fB的取值范围.【答案】(1)2ππ2π,2π,Z33kkk(2)1,12【解析】（1）313π3sincossin22262fxxxx令πππ2π2π262kxk，则2ππ2π2π,Z33kxkk所以，单调减区间是2ππ2π,2π,Z33kkk.（2）由22222122acbabacbcac得：222bcabc，即2221cos22bcaAbc，由于0πA，所以π3A.在ABC中，2π03B，3sin6π2fBB，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是ππ5π666B，则1πsin126B，11sin6π2B，13sin1262πB，所以112fB.【一隅三反】1．（2023·上海·高三专题练习）已知3()3cos22sinsin()2fxxxx，xR，（1）求()fx的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且()3fA，4a，求BC边上的高的最大值．【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为5-,()1212kkkZ；（2）23．【解析】（1）3()3