6.2 等比数列（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.2等比数列（精讲）一．等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.二．等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1，通项公式的推广：an＝amqn－m.三．等比数列的前n项和公式首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.四．等比数列的性质资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.3.若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m，S2m－S3m，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．4.若a10，q1或a10，0q1，则等比数列{an}递增．若a10，0q1或a10，q1，则等比数列{an}递减．5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q．①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－a1S偶＝q．一．等比数列基本量的运算等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.二．等比数列的三种常用判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列考法一等比数列的基本量的运算【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知nS是各项均为正数的等比数列na的前n项和，若2481aa，313S，则6a（）．A．21B．81C．243D．729【答案】C【解析】224381aaa，因为0na，所以0q，39a，又313S，故124aa，设公比是q，则121149aqaq，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两式相除得：2149qq，解得：3q或34q（舍去），故336393243aaq.故选：C【例1-2】（2022·吉林·长春市）已知等比数列na的前n项和为nS，且公比1q，245aa，154aa，则nS（）A．121nB．1122nC．122nD．21n【答案】B【解析】由等比数列的性质可知24154aaaa，因为1q，则2422aaqa，由已知可得24242454aaaaaa，可得2414aa，422aqa，则2112aaq，因此，1111211221122nnnnaqSq.故选：B.【例1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列na满足221nnnaaa，*nN，若716a，354aa，则2a的值为______.【答案】12或12【解析】因为221nnnaaa，*nN，所以数列na为等比数列，设其公比为q.由716a，23544aaa，得42a，3748aqa，所以2q.当2q=时，42a，则212a；当2q时，42a，则212a.综上，2a的值为12或12.故答案为：12或12【一隅三反】1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列na的各项均为正数，前n项和nS，若11a，5354SS，则4S（）A．158B．658C．15D．40【答案】C【解析】由题知23421514qqqqqq,即34244qqqq,即32440qqq,即(2)(1)(2)0qqq.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题知0q,所以2q=.所以4124815S.故选:C.2．（2023春·北京）已知各项均为正数的等比数列na满足1314aa，241aa，则6a（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】设等比数列na的公比为0qq，由已知条件可得2213124241141aaaqaaaq，解得1142aq，因此，5536112284aaq.故选：C.3．（2022·河南安阳）已知na为等比数列，36457,8aaaa，则27aa_________．【答案】312【解析】设公比为q，由题意知：45368aaaa，又367aa，解得3618aa或3681aa，若3618aa，则3638aqa，2q，则3276312aaaaqq；若3681aa，则36318aqa，12q，则3276312aaaaqq.故答案为：312.4．（2023·全国·高三专题练习）已知nS是等比数列na的前n项和，若存在*mN，满足22519,1mmmmSamSam，则数列na的公比为A．2B．2C．3D．3【答案】2【解析】设数列na的公比为q，若1q，则22mmSS，与题中条件矛盾，故212122111115111.19,8.8,111mmmmmmmmmmmaqSaaqmqqqqqSaaqmaqq33,8,2mqq.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法二等比数列的判断与证明【例2】（2023·广东·高三专题练习）在数列na中，11a，*12362,Nnnaannn，求证：数列3nan为等比数列，并求数列na的通项公式；【答案】证明见解析；23nnan；【解析】*12362,Nnnaannn，当2n时，11111333263133332233nnnnnnanananannnana，数列3nan是首项为132a，公比为2的等比数列，32nnan，23nnan；【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，且13212nnnaan，若1122nnnba．(1)证明：nb为等比数列．(2)求na的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)1131222nnna【解析】（1）由题意知111111132321233232222nnnnnnnnnbaaabn，所以nb为等比数列．其首项21119222ba，3q．（2）由（1）可知1193322nnnb，又1122nnnba，所以1131222nnna．2．（2023·广东深圳·校考一模）已知函数na的首项135a，且满足1321nnnaaa，求证11na为等比数列，并求na．【答案】证明见解析，332nnna资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为135a，1321nnnaaa，所以0na，所以12113nnnaaa2133na，所以1111113nnaa.又因为11213a，所以数列11na是首项为23，公比为13的等比数列，所以112112333nnna，所以1213nna，所以332nnna.3．（2023·山东潍坊·三模）已知数列na和nb满足11113,2,2,2nnnnnnabaabbab，证明：nnab和nnab都是等比数列；【答案】证明见解析【解析】因为12nnnaab，12nnnbab，所以113nnnnabab，11nnnnabab，又由13a，12b得111ab，115ab，所以数列nnab是首项为5，公比为3的等比数列，数列nnab是首项为1，公比为1的等比数列．考法三等比数列的中项性质【例3-1】（2023春·江西）在等比数列na中，若33a，55a，则7a（）A．253B．9C．15D．7【答案】A【解析】2573253aaa.故选：A.【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列na，3a，7a是方程2540xx的两根，则5a的值是（）A．2或12B．2或12C．2D．12【答案】C【解析】因为3a，7a是方程2540xx的两根，所以374aa，735aa，且3a，7a都是负数，又因为na为等比数列，所以2375aaa，所以52a，且23540aaa，所以52a.故选：C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例3-3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列na中，3a与8a是方程230100xx的两个根，则1210lglglgaaa_________.【答案】5【解析】因为3a与8a是方程230100xx的两个根，所以8310aa，因为na为正项等比数列，所以1102934756810aaaaaaaaaa，所以551210121083lglglglglglg105aaaaaaaa，故答案为：5.【一隅三反】1．（2023春·辽宁鞍山）若五个数1、x、y、z、16成等比数列，则（）A．4y，16xzB．4y，16xzC．4y，16xzD．4y，16xz【答案】B【解析】设等比数列1、x、y、z、16的公比为q，则20yq，由等比中项的性质可得211616xzy，所以，4y，16xz.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na是等差数列，数列nb是等比数列，若2465πaaa，24633bbb，则1726tan1aabb（）A．3B．3C．33D．33【答案】A【解析】由246435πaaaa，故45π3a，则127610π3aaaa，3246433bbbb，故43b，则263bb，所以17265π2πtantan()tan3133aabb.故选：A3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知0xy，向量2,1mx与向量11,22ny垂直，x，y，2成等比数列，则x与y的等差中项为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．34B．32C．12D．1【答案】A【解析】因为2,1mx与11,22ny垂直，所以1112,1,0222mnxyxy，得到2yx，又因为x，y，2成等比数列，所以22yx，又0xy，联立方程2yx和22yx，得到12x，1y，所以x，y的等差中项为324xy．故