7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.1空间几何中的平行与垂直（精讲）一．直线与平面平行1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.2.判定定理与性质定理直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b二．平面与平面平行1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b三．三种平行关系的转化四．直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b五．平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α六．三种垂直关系的转化一．判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义(无公共点).（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④线段成比例法．⑤线面平行的性质定理（3）利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).（4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二．证明面面平行的常用方法1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．三．平行关系中的三个重要结论1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2.平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.四．必背常用结论1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．7．垂直于同一条直线的两个平面平行8．如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．五．证明线面垂直常用的方法1.判定定理：线面垂直→线线垂直正方形：边边垂直，对角线垂直菱形：对角线垂直图形矩形：边边垂直等腰（等边）三角形：取中点三线合一边长或边长的关系：正余弦定理，勾股定理2.垂直于平面的传递性3.面面垂直的性质.4.线面垂直的定义六．三个重要结论1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).3垂直于同一条直线的两个平面平行.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一线面平行【例1-1】（2023浙江省）如图，正三棱柱111ABCABC-中，点D为BC的中点，求证：1AB∥平面1ACD【答案】证明见解析【解析】连接1AC，与1AC相交于M，连接DM，则M是1CA的中点，又D为BC的中点，所以1//BADM，1BA平面1ACD，DM平面1ACD，所以1//AB平面1ACD；【例1-2】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，//ABCD，，22ABADCD，E为棱PB的中点.，证明：//CE平面PAD【答案】证明见解析；【解析】取线段PA的中点F,连接EFFD、,则EF为PAB的中位线,∴11//,=22EFABEFAB由题知11//,22CDABCDAB,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴,//=EFCDEFCD,∴四边形CEFD为平行四边形.∴CEDF∥又∵DF平面PAD,CE平面PAD,∴//CE平面PAD【例1-3】（2023·海南）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，2ABADAPCD，M是棱PB上一点，若2BMMP，求证：PD平面MAC【答案】证明见解析【解析】连接BD交AC于点O，连接OM，因为,2ABCDABCD∥，所以2BOABDOCD，因为2BMMP，所以2BMPM，所以BMBOPMDO，所以OMPD∥，因为OM平面,MACPD平面MAC，所以PD平面MAC.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-4】（2023·福建）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，//EF平面ABCD，且22DEEFAB，求证：//BF平面AEC【答案】证明见解析【解析】如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令2AB.则1DEEF.∵四边形ABCD为正方形，∴222BDABBO.∵//EF平面ABCD，且平面ABCD平面BDEFBD，EF面BDEF，∴//EFBD，∴//EFOB，EFOB，即四边形BOEF为平行四边形，∴//OEBF.又OE平面AEC，BF平面AEC，∴//BF平面AEC.【例1-5】（2023·安徽）如图，ABC中，22ACBCAB，ABED是正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．求证：GF平面ABC；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析【解析】证明：如图，取BE的中点H，连接,HFGH．G，F分别是EC和BD的中点，HGBC，HFDE．又∵四边形ADEB为正方形，DEAB∥，从而HFAB∥．∵BC平面ABC，HG平面ABC，HG平面ABC.同理HF平面ABC，又HGHFH.平面HGF平面ABC.∵GF平面HGF，则GF平面ABC；【例1-6】（2023·湖南长沙）如图所示的在多面体中，,ABADEBEC，平面ABD平面BCD，平面BCE平面BCD，点,FG分别是,CDBD中点，证明：FG//平面BCE资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析【解析】如图，取BC中点H，连接EH，因为EBEC，所以EHBC，又因为平面BCE平面BCD，平面BCE平面BCDBC，EH平面BCE，所以EH平面BCD，同理可得AG平面BCD，所以//EHAG，又因为AG平面,BCEEH平面BCE，所以AG//平面BCE，因为点,FG分别是,CDBD中点，所以//FGBC，又因为FG平面,BCEBC平面BCE，所以FG//平面BCE，又因为,,AGFGGAGFG平面AFG，所以平面AFG//平面BCE.【一隅三反】1．（2023春·贵州）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是棱1AC，AB的中点，求证：//EF平面1AAD【答案】证明见解析；【解析】在正方体1111ABCDABCD中，连接11,ADBD，如图，由于11,BDAC是正方体1111ABCDABCD的对角线，则有1AC的中点E是1BD的中点，而F是棱AB的中点，于是1//EFAD，又EF平面1AAD，1AD平面1AAD，所以//EF平面1AAD.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知直棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD为菱形，点E为11BD的中点，证明：//AE平面1BDC【答案】证明见解析【解析】证明：连接AC交BD于点F，连接1CF，在直四棱柱1111ABCDABCD中，1AA∥111,CCAACC，四边形11AACC为平行四边形，AC∥1111,ACACAC，又底面ABCD为菱形，∴点F为AC的中点．∵E为11BD的中点，∴点E为11AC的中点，1CE∥1,AFCEAF，四边形1AFCE为平行四边形，AE∥1CF，又1CF平面1,BDCAE平面1BDC，AE∥平面1BDC；3．（2023春·山东滨州）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，CDAB∥，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：//l平面DEF．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析【解析】证明：延长AD，BC交于点M，因为CDAB∥，AB=2CD，所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以DEPM∥，因为DE平面DEF，PM平面DEF，所以//PM平面DEF，又P，M平面PAD，P，M平面PBC，所以平面PAD平面PBC=PM，即直线l为直线PM．所以//l平面DEF．4．（2023·云南）已知点E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC的中点.现将四边形EFCD沿EF折起，如图所示.若点G，H分别是AC，BF的中点，求证：//GH平面EFCD.【答案】证明见解析.【解析】证明：如图，连接AF，设点O为AF的中点，连接GO，OH，在ACF△中，因为点O为AF的中点，点G为AC的中点，所以//OGCF.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为OG平面EFCD，CF平面EFCD，所以//OG平面EFCD.同理可证得//OHAB，又因为E，F分别为正方形ABCD的边AD，BC的中点，故//EFAB，所以//OHEF.因为OH平面EFCD，EF平面EFCD，所以//OH平面EFCD.又因为OHOGO，OH平面GOH，OG平面GOH，所以平面//GOH平面EFCD.又因为GHÌ平面GOH，所以//GH平面EFCD.5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACCA是矩形，1,2ACABABAA，13,120ACAAB，,EF分别为棱11,ABBC的中点，G为线段CF的中点，证明：1//AG平面AEF【答案】证明见解析；【解析】在三棱柱111ABCABC-中，连接1AB，交AE于点O，连接OF，如图，四边形11ABBA为平行四边形，有11ABAB，而E为11AB的中点，则112AEAB，由1//AEAB，得1112AOAEOBAB，又,FG分别为,BCCF的中点，即有12GFFB，因此112AOGFOBFB，则1//OFAG，而OF平面1,AEFAG平面AEF，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以1//AG平面AEF．6．（2023·全国·高三对口高考）已知正方形ABCD和正方形ABEF，如图所示，N、M分别是对角线AE、BD上的点，且ENBMANM