7.2 空间几何体积与表面积（精讲）（教师版）

7.2空间几何体积与表面积（精讲）一．空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系3.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环二．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l三．柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3四．直观图1.画法：常用斜二测画法.2.规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.五．平面有关的基本事实及推论1.与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l2.基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面3.基本事实4和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.六．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α一.空间几何体表面积的求法1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.二.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.三．立体中的截面、截线1.作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．2.作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.四．证明点或线共面问题的2种方法1.先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；2.直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法;先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．考法一基本立体图形【例1-1】（2023春·河北石家庄）（多选）下列说法中不正确的是（）A．正四棱柱一定是正方体B．圆柱的母线和它的轴不一定平行C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【答案】ABD【解析】对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误．故选：ABD．【例1-2】（2023浙江省台州市）已知圆柱体的底面半径为3cm2，高为5πcm，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为______．【答案】13π(cm)【解析】根据题意，从圆柱底部M点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的N点，沿MN将侧面展开后，最短路程，如图所示，其中矩形的高等于圆柱的高5πcm，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，即342π12πcm2，所以蜗牛爬行的最短路径为22(5π)(12π)13π(cm)MN.故答案为：13π(cm).【例1-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）（多选）正三角形ABC的边长为2cm，如图，ABC为其水平放置的直观图，则（）A．ABC为锐角三角形B．ABC的面积为226cmC．ABC的周长为26cmD．ABC的面积为26cm4【答案】CD【解析】如图，因为正三角形ABC的边长为2cm，故3OC，所以32,2ABOC，45COB，在AOC中，31,,1352OAOCAOC，由余弦定理得，222332762cos121()42242ACOAOCOAOCAOC,在BOC中，31,,452OBOCBOC，由余弦定理得，222332762cos12142242BCOBOCOBOCBOC,选项A，在ABC中，因为222767614042422BCACAB，由余弦定理知222cos02BCACABACBBCAC，故选项A错误；选项B和D，11326sin45222224ABCSABOC，故选项B错误，选项D正确；选项C，ABC的周长为227676616122()()2642422222LABBCCA，故选项C正确.故选：CD.【一隅三反】1．（2023春·福建南平）（多选）下列命题正确的（）A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形B．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．用平面截圆柱，得到的截面可以是等腰梯形D．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱【答案】AC【解析】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，则A选项正确；两个面平行，其余各面都是梯形的多面体，不一定是棱台，还需强调所有梯形的两腰延长线都交于同一点，则B选项错误；用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、等腰梯形，则C选项正确；底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱，可能为斜棱柱，则D选项错误．故选：AC．2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3OA，1OC，则原图形是（）A．面积为62的矩形B．面积为324的矩形C．面积为62的菱形D．面积为324的菱形【答案】C【解析】451DOAOCCD，，所以2OD，故在原图中，22OD，1CDCD22813OCODCD，所以四边形OABC为菱形(如图所示)，3OA，则原图形面积为62SOAOD.故选：C.3（2023·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长3SA，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．23B．33C．6D．2【答案】B【解析】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A的最短距离为AA，设ASA，圆锥底面周长为2，所以¼32πAA，所以23，在SAA中，由3SASA，得222cosAASAAASASA22133233332故选：B．4（2023广东）如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO1的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BODG，23AB，22PA.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：3,52.24,21.41，结果精确到0.01)【答案】7.06【解析】因为23AB，所以122cos30ABOAOBPE，所以222PODEAPAO，又因为,BODGBOAC，所以//DGAC，所以30CAOAOD，所以AD（劣弧）的长为304=3603，由图可知，当从A到E经过的路程最短时，总路程最短，将圆柱侧面展开，从A到E的最短距离为线段AE的长度，此时22253AE，所以最短路程为552222.2422.827.06PEAP，故答案为：7.06.考法二表面积【例2-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯23高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（）A．268πcm3B．224πcmC．276πcm3D．225cm【答案】C【解析】根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的23，即4cm，下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即2cm，上底面圆的半径是10cm3，所以杯套的表面积221076π2π24πcm33S.故选：C.【例2-2】．（2023·山东烟台·统考三模）已知底面半径为3的圆锥SO，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为（）A．3πB．23πC．43πD．83π【答案】C【解析】如图作出圆锥的轴截面SAB，依题意3OBOA，1ODOC，6SB，所以2233SOSBOB，易知BDFBOS∽，则BDDFBOSO，所以23DF，即圆锥的内接圆柱的底面半径1r，高23h，所以圆柱的侧面积2π2123π43πSrh.故选：C【例2-3】（2023·河北·统考模拟预测）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高60cm，上口正方形边长70cm，下口正方形边长54cm，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4cm，高为16cm的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（52.236）（）A．212960cmB．214803cmC．216800cmD．218240cm【答案】B【解析】如图正四棱台中，连接AC，11AC，过点A、C分别作11AEAC、11CFAC，交11AC于点E、F，依题意54ABcm，1170ABcm，601644AECFcm，则1702542822AEcm，所以22112064AAAEAEcm，所以正四棱台的斜高为221112052ABABAAcm，所以