7.3 空间角（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.3空间角（精练）1．（2023·黑龙江哈尔滨）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，O是底面的中心，E，F分别是1CC，AD的中点，那么异面直线OE与1FD所成角的正弦值为（）A．105B．155C．45D．23【答案】A【解析】在正方体1111ABCDABCD中建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，O是底面的中心，E，F分别是1CC，AD的中点，所以11,,,,,,,002100110,,,,02DFOE，1102111,,,,,FDOE，15,3FDOE，113155cos,35OEFDOEFDOEFD，所以异面直线OE与1FD所成角的余弦值等于155，可得异面直线OE与1FD所成角的正弦值为21510155.故选：A．2．（2022·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体111ABCDABCD中，E，F分别是1,DDBD的中点，则直线1AD资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】与EF所成角的余弦值是（）A．12B．63C．32D．62【答案】B【解析】正方体111ABCDABCD中，E，F分别是1,DDBD的中点，设正方体111ABCDABCD中棱长为2，以D为原点，1,,DADCDD为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则1(001)(110(20(0)002)EFAD,,,,,),,,,,，1202)AD(-,,uuur，111)EF(,,-，设直线1AD与EF所成角为θ，π(0,]2，则111||cos|cos,|||||ADEFADEFADEF=483=63，∴直线1AD与EF所成角的余弦值是63．故选：B．3．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．26B．14C．36D．24【答案】B【解析】如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，,EF分别为侧面11ABBA和侧面11BCCB的中心，G为1BB的中点，EN为2点钟时针，FM为8点钟时针，则30NEGÐ，30MFGÐ，设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，以D为原点，以1,,DADCDD的方向分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(,,)22abEa，3(,,)26bNaaa，(,,)22abFa，3(,,)26bMaaa，3(0,,)26aENa，3(,0,)26aFMa，所以||cos,||||ENFMENFMENFM222221112433436436aaaaa.所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为14.故选：B4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱111ABCABC-如图所示，4,3,5,ABBCACD为棱AB的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线1AD和1BC所成的角的余弦值为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．325B．25C．425D．16225【答案】A【解析】因为在直三棱柱111ABCABC-中，所以球心到底面的距离12BBd，又因为4,3,5ABBCAC，所以222ABBCAC，所以ABBC，所以底面外接圆半径52r，又因为球的表面积为61π，所以612R，而222Rrd，所以16BB，以1B为原点，11BC为x轴，11BA为y轴，1BB为z轴建立空间直角坐标系，则10,0,0B，10,4,0A，3,0,6C，0,2,6D，113,0,6,0,2,6BCAD，111135,210,36BCADBCAD，设直线1AD和1BC所成的角为，则1111113632coscos,535210BCADBCADBCAD.故选：A.5．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD和侧面11ABBA均为矩形，2AB，6BC，123BB，14AC.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证：1ADDC；(2)求1AC与平面11BAAB所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)32244【解析】（1）证明：连接1AD，四边形ABCD和四边形11ABAB均为矩形，1ABAA，ABAD，又1,AAAD平面11AADD，1AAADA，所以AB平面11AADD，1AD平面11AADD，则1ABAD，由//ABDC，所以1ADDC.（2）设1AAD，1ADDC，22222211112cosACDCADDCAAADAAAD，16412362236cos，3cos2，0,π，π6，过C点作CM垂直交1BB于点M，由（1）可知AB平面11BCCB，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】CM平面11BCCBABCM，1CMBB，1,ABBB平面11ABBA，1ABBBB?，CM平面11ABBA，设1AC与平面11BAAB所成的角为，又11π6BBCAAD，1632CM，1//CC平面11AABB，1C到平面11AABB的距离等于3，连接111,,ACACAC，在平行四边形11AACC中，22221112ACACAAAC，2116()2(4012)AC，1222AC，13322sin44222CMAC，1AC与平面11BAAB所成角的正弦值322446．（2023春·新疆伊犁）如图：已知直三棱柱111ABCABC-中，1AC交1AC于点O，12ABACAA，90BAC.(1)求证：11ACBC；(2)求二面角OBCA的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】（1）因为1AA平面ABC，,ABAC平面ABC，可得11,AAABAAAC，由题意可知：90BAC，即ACAB，且1AAACAI，,1AAAC平面11ACCA，所以AB平面11ACCA，且1AC平面11ACCA，所以1ACAB，又因为12ABAA，则11ACAC是正方形，可得11ACAC，且1ACABA，1,ACAB平面1ABC，所以1AC平面1ABC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且1BC平面1ABC，所以11ACBC.（2）连接1AB，可知平面OBC即为平面1ABC，则二面角OBCA即为二面角1ABCA，取BC的中点D，连接1,ADAD，因为ABAC，且D为BC的中点，则ADBC，又因为1AA平面ABC，BC平面ABC，可得1AABC，1ADAAA，1,ADAA平面1AAD，所以BC平面1AAD，且1AD平面1AAD，则1ADBC，所以二面角1ABCA的平面角为1ADA，在1RtADA中，12,2AAAD，可得112tan22AAADAAD，所以二面角OBCA的正切值为2.7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，ADC60，2PAAD，E为AD的中点，F为PC中点．(1)求证：//EF平面PAB；(2)求二面角APDC的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)427资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）如图所示，取PB中点G，连接AGGF、，由中位线的性质易知：GFBC∥且12GFBC，又因为底面ABCD是菱形，E为AD的中点，所以GFAE∥，GFAE，即四边形AGFE是平行四边形，所以EFAG∥，而AG平面PAB，FE平面PAB，所以//EF平面PAB；（2）如图所示，作AIPD，垂足为I，作JIPD交PC于J，连接AJ，易知AIJ即二面角APDC，在菱形ABCD中，由于ADC60，2PAAD，PA平面ABCD，易得,,2,222ACAPADAPACADPCPDAI，在PCD中，22234214cos,,2433PCPDCDCPDJPJIPCPD，在AJP中，222202cos459AJPAPJPAPJ，在AJI中，22214202284299cossin214714223AIJIAJAIJAIJAIJI，即二面角APDC的正弦值为427.8．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，2PFFO．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明：EO//平面PBC；(2)求二面角APBC的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)17．【解析】（1）证明：如图，延长FO至点M，使FOOM，连接MD，∵底面ABCD的中心为O，∴PO平面ABCD，∴POBD，∵BOOD，FOBDOM，∴FOBDOM≌，∴FBOMDO，∴FBDM∥，∴EFDM∥，∴PFPEFMED而2PFFOFM，∴PEED，∴EOPB∥，∵PB平面PBC，EO平面PBC，∴//EO平面PBC；（2）由（1）知E是PD的中点，又BEPD，∴BPBD，不妨设1AB，则2PBPD，62PO，∵PABCD是正四棱锥，底面ABCD的中心为O，∴OC，OD，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则60,0,2P，2,0,02A，20,,02B，2,0,02C，∴260,,22BP，26,0,22AP，26,0,22CP，设平面PAB的一个法向量为,,nxyzr，2602226022nBPyznAPxz，令1x，则1y，33z，设平面PBC的一个法向量为,,mabc，则2602226022mBPbcmCPac，令1a，则1b=-，33z=，∴1cos,7nmnmnm，∴二面角APBC的余弦值为17．9．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，13PAABBCPC，．(1)求证：BC平面PAB；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求二面角APCB的大小．【答案】(1)证明见解析(2)π3【解析】1）因为PA平面,ABCBC平面ABC，所以PABC，同理PAAB，所以PAB为直角三角形，又因为222PBPAAB，1,3BCPC，所以222PBBCPC，则PBC为直角三角形，故BCPB，又因为BCPA，PAPBP，所以BC平面PAB.（2）由（1）BC平面PAB，又AB平面PAB，则BCAB，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)APCB，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP