7.3 空间角（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.3空间角（精讲）空间角的概念及范围空间角解题思路夹角范围线线角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为uvrr、则uvuvuvcoscos,rrgrrrr02(,]线面角l为平面α的斜线，ar为l的方向向量，nur为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则||ansincosananrrgrrrr＝〈，〉＝0，π2二面角平面α的法向量为1nur，平面β的法向量为2nuur，〈1nur，2nuur〉＝θ，设二面角大小为φ，则1212||cos=|cos|=||||nnnnuruurguruur0[,]资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．异面直线所成的角1.几何法:平移法求异面直线所成的角(1)作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；（2）证：证明作出的角是异面直线所成的角；（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2.向量法(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是0，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.二．直线与平面所成角1.几何法一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.2.向量法（1）斜线的方向向量（2）平面的法向量（3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.三．二面角1.几何法方法一：定义法：找出二面角的平面角方法二：垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2.向量法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.考法一线线角【例1-1】（2023·河南洛阳）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（）A．36B．63C．13D．12【答案】A【解析】连接AC与BD交于点O，连接PO，由题意得，ACBD，且PO平面ABCD，以O点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设四棱锥PABCD各棱长均为2，则2AOBODO，2PO，可得222,0,0,0,,,2,0,0,0,0,222AECP，则222,,,2,0,222AEPC，设异面直线AE与PC所成角为，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则2(2)(2)(2)23coscos,611220222AEPCAEPCAEPC．故选：A．【例1-2】（2023秋·陕西汉中）在三棱锥ABCD中，4ABACAD，BCD△的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（）A．2244B．2222C．32244D．2211【答案】C【解析】如图，取AD中点E，连接PE，EC，P是AB中点，//PEBD，132PEAB，则CPE∠是PC与BD所成角的平面角（或补角），在ABC中，4ABAC，6BC，由余弦定理，2222224461cos22448ABACBCAACAB，在APC△中，2222cosPCAPACAPACA22124224=228，22PC，同理，22CE，在PEC中，由余弦定理可得，22222922322cos2442223PCPECECPEPCPE，异面直线PC与BD所成角的余弦为32244.故选：C.【一隅三反】1．（2023·北京）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线1BC与EF所成的角的大小为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．30B．45C．60D．90【答案】C【解析】如图，连接DB，1AB，则11//BCAD,E，F分别是AB，AD的中点，DBEF∥，1ADB是异面直线1BC与EF所成的角，且1ADB是等边三角形，160ADB.故选：C.2．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）在长方体1111ABCDABCD中，11BCCC，2AB，则异面直线1BC与1AB所成角的余弦值为（）A．23B．63C．66D．33【答案】C【解析】连接1,BDCD，11//ADBC，11ADBC，四边形11ABCD为平行四边形，11//ABCD，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】异面直线1BC与1AB所成角即为直线1BC与1CD所成角，即1BCD（或其补角）；223BDABAD，22113CDCDCC，22112BCBCCC，222111112336cos26223BCCDBDBCDBCCD，即异面直线1BC与1AB所成角的余弦值为66.故选：C.3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAD是正三角形，2AB，平面PAD平面ABCD，则PC与BD所成角的余弦值为（）A．14B．24C．13D．33【答案】A【解析】取AD的中点O，BC的中点E，连接PO、OE，因为PAD是正三角形，所以POAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，则0,0,3P，2,1,0C，0,1,0D，2,1,0B，所以2,1,3PC，2,2,0DB，所以1cos,4PCDBPCDBPCDB，所以PC与BD所成角的余弦值为14.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A考法二线面角【例2-1】（2023秋·福建福州）如图，在底面为菱形的四棱锥MABCD中，2ADBDMB，2MAMD．(1)求证：平面MAD平面ABCD；(2)已知2MNNB，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)31313【解析】（1）证明：取AD的中点为O，连结OM，OB，因为四边形ABCD是为菱形，且2ADBD，所以ABD△为正三角形，所以BOAD，且3BO．因为2MAMD，所以MOAD，所以2222211MOMAAO，又因为2MB，所以222MOBOMB，所以MOBO，因为ADBOO，AD平面ABCD，BO平面ABCD所以MO平面ABCD，又因为MO平面MAD，所以平面MAD平面ABCD．（2）由（1）知，OA，OB，OM两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OA，OB，OM为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则1,0,0A，0,3,0B，2,3,0C，0,0,1M，2310,,33N，所以3,3,0CA，312,,33CN，2,0,0CB，设平面ACN的一个法向量为,,nxyz，则00nCAnCN，即330312033xyxyz，取1x，则1,3,3n．因为0,3,1BM，则33313cos,13213BMnBMnBMn，所以直线BN与平面ACN所成角的正弦值为31313．【例2-2】（2023秋·湖北）如图，在四棱台1111ABCDABCD中，1AA底面ABCD，M是AD中点.底面ABCD为直角梯形，且ADBC∥，11112ABBCADAAAD，90ABC.(1)求证：直线1DD∥平面1BCM；(2)求直线CD与平面1BCM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)12【解析】（1）连接11,AMDM，因为M是AD中点，且ADBC∥，2ADAB，则CMAB∥，又因为11ABAB∥，则11ABCM∥，可知11,,,ABCM四点共面，由112ADAD，11ADAD∥，可得11ADMD∥，11ADMD，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则四边形11AMDD是平行四边形，故11DDAM∥，且1DD平面11AMDD，1AM平面11AMMD，所以1DD∥平面1BCM.（2）因为1AA底面ABCD，AB底面ABCD，则1AAAB，且ADAB，1AAADA，1,AAAD平面11ADDA，所以AB平面11ADDA，由（1）可知：CMAB∥，则CM平面11ADDA，且CM平面1BCM，所以平面1BCM平面11ADDA，过点D作1DOAM于点O，连CO，平面1BCMI平面111ADDAAM，DO平面11ADDA，所以DO平面1BCM，所以DCO∠为CD与平面1BCM所成角，因为1△∽△AAMDOM，则11AADOAMDM，可得1122AADMDODMAM，所以直线CD与平面1BCM所成角的正弦值212sin22DMDODCOCDDM.【一隅三反】1．（2022秋·陕西渭南·高三统考阶段练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA底面ABC，ABBC，12ABBCAA，,MN分别为1AB，AC的中点．(1)求证：//MN平面11BCCB；(2)求直线AB与平面AMN所成角的正弦值．【答案】(1)证明详见解析资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)33【解析】（1）连接1CB，由于,MN分别为1AB，AC的中点，所以1//MNCB，由于MN平面11BCCB，1CB平面11BCCB,所以//MN平面11BCCB.（2）由于1AA底面ABC，11//BBAA，所以1BB底面ABC,BCAB底面ABC，所以11,BBBCBBAB，由于ABBC，所以1,,BCABBB两两相互垂直，以B为原点，建立如图所示空间直角坐标系，10,2,0,2,0,0,0,0,2ACB，12,2,0,0,2,2ACAB，设平面AMN，即平面1ACB的法向量为,,nxyz，则1220220nACxynAByz，故可设1,1,1n.设直线AB与平面AMN所成角为，则23sin323BAnBAn.2．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，2π3AOB，E为PB中点，点F在线段AB上，且2AFFB.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明：平面AOP平面OEF；(2)若OPAB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3926【解析】（1）设圆O的半径为r，在AOB中，OAOBr，2π3AOB，π6OAB，故3ABr，又2AFFB，故233rAF，在AOF中，由余弦定理得22222112cos33OFOAAFOAAFOAFOAr，所以222OAOFAF，即OAOF；圆锥中，PO底面O，OF底面O，故POOF，又OAOPO，所以OF平面AOP，又OF平面OEF，所以平面AOP平面OEF.（2）以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，不妨设3OA，则33OPABOA，313OFOA，则(300)A，，，(003