7.4 空间距离（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.4空间距离（精练）1．（2023·全国·高三专题练习）已知1111ABCDABCD是棱长为1的正方体，则平面11ABD与平面1CBD的距离为．【答案】33【解析】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,0),(0,1,1),(0,0,1),(1,1,1)ABDCDB，可得1111(0,1,1),(1,0,1),(1,0,1),(0,1,1)ABADBCDC，因为1111,ADBCABDC，则1111,ADBCABDC∥∥，所以1111,ADBCABDC∥∥，因为1AD平面1CBD，1BC平面1CBD，1AB平面1CBD，1DC平面1CBD，所以1AD平面1CBD，1AB平面1CBD，又11ADABA，11,ADAB平面11ABD，所以平面11ABD平面1CBD，所以平面11ABD与平面1CBD的距离等于点1C到平面11ABD的距离d，设平面11ABD的法向量为(,,)nxyz，则1100nAByznADxz，令1z，可得1,1xy，所以(1,1,1)n，又因为11(1,0,0)CB，所以1133CBndn．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以平面11ABD与平面1CBD的距离为33．故答案为：33．2．（2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体ABCDEFGH如图所示，,MN分别为直线,AFBG上的动点，则线段MN长度的最小值为．【答案】33【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设0000(,1,,1),(,1,)PyyQxx，当PQ为两异面直线的公垂线段时，PQ长度最短，此时PQ长度为MN的最小值,则0000(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)PQxyxyAFGB,由00AFPQGBPQ，所以0023xy，所以2122(1,,),(,1,)3333PQ,所以222min22123(1)(1)()33333MNPQ故答案为：33.3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，23AB，60BAD，沿对角线BD将ABD△折起，使点A，C之间的距离为32，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则线段PQ的最小值为.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】322【解析】取BD的中点E，连接AE，EC，则AEBD，ECBD，3AEEC.因为32AC，所以22AECEAC，即AEEC.以E为原点，分别以EB，EC，EA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则3,0,0B，0,3,0C，0,0,3A，3,0,0D.设,0,0Pa，0,3,3CQCA，所以,3,00,3,3,33,3PQPCCQaa，从而有22222193331822PQaa，当0a，12时，min322PQ.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCDABCD中，AB＝1，M，N分别是棱AB，1CC的中点，E是BD的中点，则异面直线1DM，EN间的距离为.【答案】24资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】以D为原点，1,,DADCDD的方向为,,xyz轴建立空间直角坐标系，易知11111(0,0,1),(1,,0),(,,0),(0,1,)2222DMEN，11111(1,,1),(,,)2222DMEN，设(,,)nxyz同时垂直于1,DMEN，由11021110222nDMxyznENxyz，令1x，得(1,0,1)n，又11(1,,)22MN，则异面直线1DM，EN间的距离为112242MNnn.故答案为：24.5．（2022·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥PABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为．【答案】263资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则有：1,1,0A，1,1,0B，1,1,0C，1,1,0D，0,0,2P，112,,222E可得：312,,222CE设1,1,0Mx，且222,,Nxyz则有：CNCE，可得：3121,1,222N则有：13121,2,222MNx故222131212222MNx2213312424x资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则当且仅当14,13x时，min263MN故答案为：2636．（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为.【答案】68989【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，1,,DADCDD所在方向分别为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，10,1,3M，1,0,02N，∴1BB=(0，0，1)，11,0,3BM，11,1,12BN.设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量,,nxyz，由=0nBM，10nBN，得103102xzxyz，令x=2，则z=6，y=-7，∴2,7,6n，设直线BM与B1N之间的距离为d，则d=1||||nBBn=689=68989.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：68989.7．（2023秋·广东东莞·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，//BC平面PAD，112BCAD，E是棱PD上的动点.(1)当E是棱PD的中点时，求证：//CE平面PAB；(2)若1AB，ABAD，求点B到平面ACE距离的范围.【答案】(1)证明见解析(2)210,7【解析】（1）证明：因为//BC平面PAD，BC平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以//BCAD.取PA的中点F，连接BF、EF，因为E是棱PD的中点，所以，//EFAD且12EFAD，因为//BCAD且12BCAD，所以，//EFBC且EFBC，所以，四边形BCEF为平行四边形，则//CEBF，因为CE平面PAB，BF平面PAB，所以//CE平面PAB.（2）解：取AD的中点O，连接PO.因为PAD是正三角形，所以POAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以，PO平面ABCD，因为//BCAD，12BCAD，O为AD的中点，所以，//BCAO且BCAO，所以，四边形ABCO为平行四边形，则//COAB，因为ABAD，则COAD，以点O为坐标原点，OC、OD、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则0,1,0A、1,0,0C、0,0,3P、0,1,0D，所以1,1,0AC，设0,1,30,,3DEDP，其中01≤≤，则0,2,00,,30,2,3AEADDE，设平面ACE的法向量111,,xnyz，所以11110230nACxynAEyz，令12z，得3,3,2n，设点B到平面ACE距离为d，23744dABnn.当0时，0d；当01时，11，则22333210716271464d，当且仅当1时等号成立.综上，点B到平面ACE距离的取值范围是210,7.8．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，4OA，3OB，4OP，OP底面ABCD，设点M是PC的中点．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)直线PB与平面BDM所成角的正弦值；(2)点A到平面BDM的距离.【答案】(1)225(2)22【解析】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，又OP面ABCD，故以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，如图，因为4OA，3OB，4OP，且M为PC中点，则(4,0,0)A，(0,3,0)B，(0,3,0)D，(0,0,4)P，(4,0,0)C，(2,0,2)M，故(0,3,4)PB，(2,3,2)BM，(0,6,0)BD，设面BDM的法向量为,,nxyz，则232060nBMxyznBDy，令1x，则0y，1z，故1,0,1n，所以422cos525nPBnPBnPB，故直线PB与平面BDM所成角的正弦值为225；（2）由（1）可知(6,0,2)AM，面BDM的一个法向量为1,0,1n，所以点A到平面BDM的距离4222nAMdn，故点A到平面BDM的距离为22．9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台111ABCABC-中，1AA平面ABC，90ABC，且12ABBCAA，111BC，F是1AA的中点．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求三角形ABC重心G到直线11BC的距离；(2)求二面角11BBCF的余弦值．【答案】(1)373(2)27035【解析】（1）因为11111ABBC，所以112AC，2222ACABBC，在平面ABC内过点A作AxAC，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则2,2,0B，0,22,0C，10,2,2C，0,0,1F，2,2,03G，122,,222B过点G作11GHBC，设111BHBC，11111AHABBHABBC22222222,,2,,0,,222222222.则2222,,22222H.因为2222,,22622GH，110CGHB资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以112222220222622GCHB，解得23，所以2,262,6GH，22222233766GH．即三角形ABC重心G到直线11BC的距离为373.（2）12,0,2BC，2,2,1BF，122,,222BB，设平面11BBC的法向量,,nxyz，则1122002202022xznBCnBBxyz，取1z，则2,2,1n设平面1BFC的法向量,,mabc，则102200220mBCacmBFabc，取1c，则22,,12m所以，211270cos,35752nmnmnm