7.5 空间几何的外接球（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.5空间几何的外接球（精讲）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点一汉堡模型【例1】（2023春·重庆）设直三棱柱111ABCABC-的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为20π，3ABBCAC，则此直三棱柱的高是（）A．1B．2C．22D．4【答案】D【解析】设ABC外接圆得圆心为1O，半径为r，直三棱柱111ABCABC-得高为h，直三棱柱111ABCABC-外接球得球心为O，半径为R，则112OOh，且1OO平面ABC，由正弦定理得322sin60r，所以1r，因为24π20πR，所以5R，所以2212OORr，所以4h，即直三棱柱111ABCABC-得高为4.故选：D.【一隅三反】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023春·安徽宣城）在三棱锥PABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且4PA，则三棱锥PABC的外接球表面积为．【答案】28π【解析】根据已知，底面ABC是边长为3的等边三角形，PA平面ABC，可得此三棱锥外接球，即以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球．设正三棱柱的上下底面的中心分别为,MN，则外接球的球心O为MN的中点，ABC的外接圆半径为233332rAN，122dONPA，所以球的半径为227ROArd，所以四面体PABC外接球的表面积为24π28πSR，故答案为：28π．2．（2023春·广东韶关）三棱锥PABC中,PA平面ABC,4PA,π3BAC,3BC,则三棱锥PABC外接球的体积是．【答案】205π3【解析】如图,将三棱锥还原成直三棱柱,设三棱柱的外接球球心为O,1,DD分别为上下底面的外心,则O为1DD的中点,AD为底面外接圆的半径,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以球心O到面ABC的距离为1022DPA,由正弦定理有:3221sin32BCADADBAC,所以225OARODAD,3420π(5)5π33V.故答案为:205π3.3．（2023春·江苏扬州）已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AB，直线1AC与平面ABCD所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为.【答案】10π【解析】连接AC，在正四棱柱1111ABCDABCD中，1CC平面ABCD，所以1CAC为直线1AC与平面ABCD所成角，因为在等腰直角三角形ABC中，1ABBC，所以2AC，在直角三角形1ACC中，111tan22CCCCCACAC，所以122CC，221110ACACCC，又正四棱柱1111ABCDABCD的外接球的直径为1AC，则半径102r.所以球的表面积为：22104π4π10π2Sr.故答案为：10π考法二墙角模型资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例2】（2023春·天津河北）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．50π3B．25πC．50πD．125π【答案】C【解析】依题意得长方体的对角线长为22234552，又长方体的外接球的直径是长方体的对角线，所以长方体的外接球的直径252R，所以长方体的外接球的表面积为24π50πR.故选：C【一隅三反】1．（2023春·山西朔州）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．29πB．32πC．58πD．30π【答案】A【解析】设球O的半径为R，由于长方体的体对角线为球O的直径，则222243229R，所以292R，因此，球O的表面积为22294π4π29π2SR.故选：A2．（2023春·贵州黔东南）在三棱锥PABC中，PA平面π,23,2,2ABCPAACABC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【答案】B【解析】由题意，在三棱锥PABC中，PA平面π,23,2,2ABCPAACABC，故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示，则体对角线PC即为外接球得直径，222221244PCPAABBCPAAC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故外接球的半径2R，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为24π16πR.故选：B.3．（2023春·广东深圳）如图，在长方体ABCDABCD中，四边形ABBA是边长为1的正方形，7AD，则该长方体的外接球表面积是（）A．3π2B．9π2C．36πD．9π【答案】D【解析】由题意可知长方体ABCDABCD的体对角线长为22211(7)3AC,故该长方体的外接球的半径为32，该长方体的外接球表面积为234π()9π2，故选：D考法三斗笠模型【例3-1】（2023春·北京海淀）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．48πB．24πC．12πD．6π【答案】C【解析】如图可将正三棱锥PABC放到棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球且正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，设外接球的半径为R，则2222222212R，即2412R，即3R（负值舍去），所以外接球的表面积24π12πSR.故选：C【例3-2】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆锥与球的体积之比是（）A．23B．932C．3316D．32【答案】B【解析】如图所示，设圆锥的底面圆圆心为点D，延长AD与球面交于B.设圆锥底面半径为r，母线为l，则22ππ3πrlrr，得2lr，圆锥的高223hlrr设球半径为R，则RtABC△中，CDAB有2CDADBD，即2(2)rhRh，即23(23)rrRr，23rR，故231π3933242π33rrVVr锥球，故选：B.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】1．（2023春·江西）在正四棱锥PABCD中，8,410ABPA，若该棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．800πB．400πC．200πD．50π【答案】C【解析】如图，过点P作PN^平面ABCD于点N，由8,410ABPA，得2242,82ANPNPAAN，显然球心O在PN上，设球O的半径为R，则222222()(42)(82)RAOANPNPOR，解得52R，所以球O的表面积24π200πSR，故选：C.2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【答案】83【解析】因为2436VR球，所以正三棱锥外接球半径3R，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】正三棱锥如图所示，设外接球圆心为O，过PO向底面作垂线垂足为D，ODa(03)a因为PABC是正三棱锥，所以D是ABC的中心，所以3OPOA，2229ADOAODa,又因为23ADB，所以239ABBCACa2133sin(9)234ABCSABACa，所以232133(9)(3)(3927)344PABCABCVSPDaaaaa，令32()3927faaaa，2()3693(3)(1)0faaaaa解得31a或所以()fa在[0,1)递增，在(1,3)递减，故当1a时，PABCV取最大值，max()83PABCV.故答案为：83.3．（2023·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（）A．323B．6C．6D．823【答案】C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由图，设PAPBPCx，则21PMx，而3CM，因为PM⊥PC，所以由勾股定理得222PMPCMC即2213xx解得2x，由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，假设为O点，则OPOCR，因为2633PD,所以63ODR，又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以22333CDCM,在三角形ODC中，由勾股定理得222CDODOC,即22223633RR，解得62R，所以三棱锥P－ABC外接球的体积为6.故选：C考点四L模型【例4】（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，2BE，N为AF的中点，23EMEF，则三棱锥MBNC外接球的表面积为（）A．25π3B．13π3C．25π12D．103π3【答案】A【解析】由23EMEF可知，33FM，1FNNA，可求233MN，2NB，433MB，因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，又BCAB，BC平面ABCD，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以BC平面ABEF，BM平面ABEF，所以BCBM，由433MB，3BC，得533MC，又2NB，同理可得得7NC，又233MN，所以222222325733MNNCMC，所以MNNC.所以MC为外接球直径，在Rt△MBC中533MC，即536R，故外接球表面积为225π4π3SR．故选：A．【一隅三反】1．（2023春·山东枣庄）已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且3SD，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（）A．43B．203C．12πD．60π【答案】B【解析】如图：设底面正三角形ABC的外心为E，三角形SAB的外心为F，分别过E、F作所在面的垂线相交于O，则O为三棱锥SABC外接球的球心，再设底面正三角形外接圆的半径为r，则223π32sin3r.由已知求得312SASB，可得SAB△也为边长是2的正三角形，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以SAB△外接圆的半径为1233r，则233333OEFD.所以三棱锥SABC外接球的半径满足：2223235333R.则三棱锥SABC外接球的表面积为520π4π33.故选：B.2．（2023秋·四川泸州已知三棱锥SABC的底面ABC是正三角形，侧面SAC底面ABC，且90ACS，30SAC，若该三棱锥的外接球的表面积为60π，则AB的值为（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【解析】设ABC的外接圆的圆心为1O，连1CO，并延长交AB与E，则E为AB的中点，设2O为SA的中点，因为侧面SAC底面ABC，SCAC，平面ASC平面ABCAC，SC平面ASC，所以SC底面ABC，又AC底面ABC，所以SCAC，所以2O为三角形ASC的外接圆的圆心，设该三棱锥的外接球的球心为O，连1OO，2OO，则1OO平面ABC，2OO平面ASC，取AC的中点D，则2//ODSC，因为SC底面ABC，所以2OD平面ABC，所以12//OOOD，因为2OO平面ASC，2OD平面ASC，所以22OOOD，因为2OD平面ABC，1OD平面ABC，所以12ODOD，所以四边形12OODO为矩形，所以12OOOD，因为三棱锥的外接球的表面积为60π，所以24π60πOC