8.1 计数原理及排列组合（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8.1计数原理及排列组合（精讲）一.两个计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.二.排列、组合1.定义排列的定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数、组合数的公式、性质资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】排列数组合数公式𝐴nm＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝𝑛!(𝑛-𝑚)!𝐶nm＝𝐴𝑛𝑚𝐴𝑚𝑚＝𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)…(𝑛-𝑚+1)m!性质𝐴nn＝n！，0！＝1𝐶n0＝1，𝐶nm＝𝐶nn−m，𝐶nm＋𝐶nm−1＝𝐶n+1m三．常用方法1.特殊优先2.相邻捆绑法3.不相邻插空法4.定序倍缩法5.对于分堆与分配问题应注意三点①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆时要注意是否均匀.6.相同元素隔板法一．计数原理的解题思路二．涂色问题常用的方法方法一：按区域的不同，以区域为主的分步计数，用分步乘法计数原理方法二：按颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析三．组合问题1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四．圆形排列问题n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中考法一排列【例1】（2023广东湛江）有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，男生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．【答案】(1)2520；(2)1440；(3)3600；(4)3720；(5)840；(6)720；(7)960；(8)240.【解析】(1)从7人中选5人排列，不同的排法种数为572520A．(2)先排女生，有44A种排法，再在女生之间及两端的5个空位中任选3个空位排男生，有35A种排法，故不同的排法种数为43451440AA．(3)方法一：先排甲，有5种排法，其余6人有66A种排法，故不同的排法种数为6653600A．方法二：左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有26A种排法，其他位置有55A种排法，故不同的排法种数为25653600AA．(4)方法一：分两类：第一类，甲在最右边，有66A种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端的位置后剩下的5个中任选一个，有15A种排法，而乙可排在除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个中任选一个，有15A种排法，其余人全排列，有55A种排法，故不同的排法种数为611565553720AAAA．方法二：7名学生全排列，有77A种排法，其中甲在最左边时，有66A种排法，乙在最右边时，有66A种排法，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有55A种排法，故不同的排法种数为76576523720AAA．(5)7名学生站成一排，有77A种排法，其中3名男生的排法有33A种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故不同的排法种数为7733840AA．(6)首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作剩余6人的全排列，故不同的排法种数为66720A．(7)先排出甲、乙、丙3人外的4人，有44A种排法，由于甲、乙相邻故再把甲、乙排好，有22A种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有25A种排法，故不同的排法种数为422425960AAA．(8)将甲、乙看作一个整体，相当于6名学生坐圆桌吃饭，有55A种排法，甲、乙两人可交换位置，故不同的排法种数为5252240AA．【一隅三反】1．（2023云南）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(7)5040；(8)720.【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有13A种排法，其余6人全排列，有66A种排法，由乘法原理得共有1636AA=2160（种）排法；（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有16A种排法，余下的6个位置全排有66A种排法，但应剔除乙在最右边的排法1555AA种，则符合条件的排法共有16156655AAAA3720（种）；（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有3535AA720（种）排法；（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有3434AA144（种）排法；（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有4345AA1440（种）排法；（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得7373A=AN，所以7733A840AN（种）；（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有77A=5040（种）排法；（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有35A种排法，甲、乙互换位置，有22A种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有33A种排法，所以共有323523AAA720（种）排法．2．（2023春·河南郑州）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排一排，女生必须站在一起；(5)全体排一排，男生互不相邻；(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)2520(2)5040(3)3600(4)576(5)1440(6)720(7)2520(8)3720【解析】（1）从7人中选5人排列，有57765432520A（种）方法.（2）分两步完成，先选3人站前排，有37A种方法，余下4人站后排，有44A种方法，则共有47345040AA（种）方法.（3）先排甲，有5种方法，其余六人有66A种，则共有6653600A（种）方法.（4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与3名男生全排列，有44A种方法，再将女生全排列，有44A种方法，则共有4444576AA（种）方法.（5）（插空法）：先排女生，有44A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有35A种方法，则共有34541440AA（种）方法.（6）把甲乙及中间三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有22A种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有35A种方法，最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列，有33A种，共有233253720AAA（种）方法.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（7）（消序法）：7725202A（种）方法.（8）（间接法）：无限制排法有77A种，其中甲或乙在最左端或在最右端有66A种，55A是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有76576523720AAA（种）方法.3．（2023·广东佛山）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．(1)选5名同学排成一排；(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(5)全体站成一排，男生排在一起；(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）无条件的排列问题，排法有572520A种；（2）先安排甲乙在中间有25A种，再安排余下的5人有55A种，共有排法有25552400AA种；（3）排法有76576523720AAA种，其中66A是甲在左端或乙在右端的排法，55A是甲在左端且乙在右端的排法；（4）把男生看成一个整体共有33A种，再把女生看成一个整体有44A种，再把这两个整体全排列，共有342342288AAA种排法；（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有3535720AA种排法；（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共44A种排法，男生在五个空中安插，有35A种排法，故共有43451440AA种排法；（7）对比（6），让女生插空，共有3434144AA种排法；（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有224524960AAA种排法；（9）分步完成共有3477475040AAA种排法；（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，7人的全排列共有77A种，甲、乙、丙3人全排列有33A种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有7733840AA种排法.考法二组合【例2】（2023秋·课时练习）高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(2)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(3)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？【答案】(1)5984；(2)2100；(3)2555；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(4)6090.【解析】（1）从除指定女生外的34名同学中任取3名同学，有334C5984（种），所以某一女生不能在内，不同的选法有5984种.（2）从20名男生中取1名，从15名女生中取2名，有122015CC201052100（种），所以恰有2名女生在内，不同的选法有2100种.（3）选取2名女生有122015CC种，选取3名女生有315C种，所以至少有2名女生在内，不同的选法有1