8.1 计数原理及排列组合（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8.1计数原理及排列组合（精练）1．（2023·云南曲靖）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）A．12B．24C．48D．84【答案】D【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：当种植的鲜花为两种时：A和C相同，B和D相同，共有24A12种种植方法；当种植鲜花为三种时：A和C相同或B和D相同，此时共有23432CA24648种种植方法；当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有44A432124种种植方法，综上：则不同的种植方法的种数为12482484种，故选：D.2．（2023秋·江西南昌·）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（）种不同的方法.A．120B．360C．420D．480【答案】C【解析】分两类情况：第一类：2与4种同一种果树，第一步种1区域，有5种方法；第二步种2与4区域，有4种方法；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第三步种3区域，有3种方法；最后一步种5区域，有3种方法，由分步计数原理共有5433180种方法；第二类：2与4种不同果树，第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有45A120种方法；第二步种5号区域，有2种方法，由分步计数原理共有1202240种方法.再由分类计数原理，共有180240420种不同的方法.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（）（用数字填写答案）A．24B．48C．72D．120【答案】D【解析】对图形进行编号如图所示：第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3种方法，涂区域④有2种方法，涂区域③有2种方法，涂区域②有1种方法，则不同的涂色方案的种数为：4322148种；第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3种方法，涂区域④有2种方法，涂区域⑥有1种方法，再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有2种方法；若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有1种方法，则不同的涂色方案的种数为：43212172种；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据分类加法计数原理，共有4872120种；故选：D.4．（2023北京）如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（）种A．120B．240C．300D．360【答案】C【解析】依题意显然不能用少于2种颜色涂色，若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有35C10种选法，先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂法，故一共有35C3211160种涂法；若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有45C5种选法，根据题意，分2步进行涂色：当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有34A24种涂色的方法；当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，故共有4354C2A5224240种涂色的方法；综上可得一共有60240300种涂法；故选：C5．（2023湖南）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有()种资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．540B．360C．300D．420【答案】D【解析】分两种情况讨论即可：(i)②和④涂同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；(ii)②和④涂不同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；∴总共有180＋240＝420种涂色方法．故选：D﹒6．（2022·全国·高三专题练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（）A．至多能剪成19块“L”形骨牌B．至多能剪成20块“L”形骨牌C．最多能剪成21块“L”形骨牌D．前三个答案都不对【答案】C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】考虑2×3的6块方格，如图：，每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌.只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌.如图所示故选：C7．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（）A．120种B．150种C．180种D．210种【答案】C【解析】依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有35A60种选法，所以满足条件的不同选法共有353A180种．故选：C8．（2023·全国·模拟预测）从两名医生、两名教师和一名警察中任选两名参加社会服务活动，则两人职业不同的概率为（）A．25B．12C．35D．45【答案】D【解析】两人不同职业的对立事件是两个人的职业相同，职业相同的概率为222225CC1C5，所以两人职业不同的概率14155P=-=.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D9．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）从1到10的连续10个整数中随机抽取3个，已知这3个数之和为奇数，则这3个数之积为偶数的概率为（）A．512B．56C．112D．23【答案】B【解析】由题意可知要使这3个数之和为奇数，则这3个数必为3个奇数或2个偶数1个奇数，所以总的抽取法共有321555N=C+CC60种，要使这3个数之积为偶数，则必为2个偶数1个奇数，共有2155CC50n种，所以所求概率为：505606P.故选：B.10．（2023·福建宁德·校考二模）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为（）A．325B．910C．625D．920【答案】C【解析】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况,则有：223335353322CCCA+A150A种方法；两位女教师分派到同一个地方根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：2333CA18种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：1333CA18种方法；故一共有：36种分派方法,这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为36615025P.故选：C11．（2023·河南·统考三模）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（）种．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．16B．20C．96D．120【答案】C【解析】从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，有36A120种，其中没有语文教师入选的有34A24种，所以满足条件的不同安排方法有1202496种.故选：C12．（2023·广东深圳·统考二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中,AB两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（）A．6B．12C．16D．18【答案】A【解析】甲宾馆不再安排代表团入住，则乙､丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.共有2232CA=6种方法，故选：A13．（2023·福建宁德·校考模拟预测）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼﹐金渐层猫3只（猫妈妈和2只小猫嶲）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（）A．8种B．30种C．360种D．1440种【答案】C【解析】根据题意，将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3只金渐层猫看成是1个整体，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，则分组方法有224222CC3A（种）一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼，在5个不同的猫笼中可以放4个整体，则一共可以安排的方法有：45A3360（种）故选：C.14．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（）A．15B．415C．13D．25【答案】B【解析】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有222642CCC90种不同的安排方法，其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有122412CC种，节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有122322CAA12种，故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有121224种，故所求概率为2449015P.故选：B15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）某足球比赛有A，B，C，D，E，F，G，H，J共9支球队，其中A，B，C为第一档球队，D，E，F为第二档球队，G，H，J为第三档球队，现将上述9支球队分成3个小组，每个小组3支球队，若同一档位的球队不能出现在同一个小组中，则不同的分组方法有（）A．27种B．36种C．72种D．144种【答案】B【解析】根据题意，先排,,ABC，共有1种排法；再排,,DEF，共有33A6种不同的排法；最后排,,GHJ，共有33A6种不同的排法，由分步计数原理得，共有16636种不同的排法.故选：B.16．（2023·浙江·校联考模拟预测）某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．324B．364C．560D．680【答案】B【解析】将路灯分2盏(为保证关闭路灯之间至少有两盏亮)、15盏、3